2014年安徽（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年安徽（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设i 是虚数单位, 复数i3 + 2i 1 + i = ( ) 5分
   A. −i B. i C. −1 D. 1
2. 2. 命题“∀x ∈R, |x| + x2 ⩾0”的否定是 ( ) 0 < 0 0 ⩾0 5分
   A. ∀x ∈R, |x| + x2 < 0 B. ∀x ∈R, |x| + x2 ⩽0 C. ∃x0 ∈R, |x0| + x2 D. ∃x0 ∈R, |x0| + x2
3. 3. 抛物线y = 1 4x2 的准线方程是 ( ) 5分
   A. y = −1 B. y = −2 C. x = −1 D. x = −2
4. 4. 如图所示, 程序框图(算法流程图) 的输出结果是 ( ) 开始 x = 1, y = 1 z = x + y z ⩽50? x = y y = z 输出z 结束 是 否 5分
   A. 34 B. 55 C. 78 D. 89
5. 5. 设a = log37, b = 21.1, c = 0.83.1, 则 ( ) 5分
   A. b < a < c B. c < a < b C. c < b < a D. a < c < b
6. 6. 过点P ( − √ 3, −1 ) 的直线l 与圆x2 + y2 = 1 有公共点, 则直线l 的倾斜 角的取值范围是 ( ) (A) ( 0, π 6 ] (B) ( 0, π 3 ] (C) [ 0, π 6 ] (D) [ 0, π 3 ] 5分
7. 7. 若将函数f (x) = sin 2x + cos 2x 的图象向右平移φ 个单位, 所得图象关于 y 轴对称, 则φ 的最小正值是 ( ) 8 4 8 4 5分
   A. π B. π C. 3π D. 3π
8. 8. 一个多面体的三视图如图所示, 则该多面体的体积为 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 3 6 5分
   A. 23 B. 47 C. 6 D. 7
9. 9. 若函数f (x) = |x + 1| + |2x + a| 的最小值为3, 则实数a 的值为 ( ) 5分
   A. 5 或8 B. −1 或5 C. −1 或−4 D. −4 或8
10. 10. 设a, b 为非零向量, |b| = 2 |a|, 两组向量x1, x2, x3, x4 和y1, y2, y3, y4 均由2 个a 和2 个b 排列而成, 若x1 · y1 + x2 · y2 + x3 · y3 + x4 · y4 所 有可能取值中的最小值为4|a|2, 则a 与b 的夹角为 ( ) 3π 3 6 5分
    A. 2 B. π C. π D. 0

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. (16 81 )−3 4 + log3 5 4 + log3 4 5 = . 5分
2. 2. 如图, 在等腰直角三角形ABC 中, 斜边BC = 2 √ 2, 过点A 作BC 的垂 线, 垂足为A1; 过点A1 作AC 的垂线, 垂足为A2; 过点A2 作A1C 的垂 线, 垂足为A3; · · · , 依此类推, 设BA = a1, AA1 = a2, A1A2 = a3, · · · , A5A6 = a7, 则a7 = . C B A A1 A3 A5 A2 A4A6 5分
3. 3. 不等式组        x + y −2 ⩾0, x + 2y −4 ⩽0, x + 3y −2 ⩾0 表示的平面区域的面积为 . 5分
4. 4. 若函数f (x) (x ∈R) 是周期为4 的奇函数, 且在[0, 2] 上的解析式为 { x (1 −x) , 0 ⩽x ⩽1, sin πx, 1 < x ⩽2, 则f (29 4 ) + f (41 6 ) = . 5分
   F. (x) =
5. 5. 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件: (i) 直线l 在点P (x0, y0) 处与曲线C 相切; (ii) 曲线C 在点P 附近位于 直线l 的两侧, 则称直线l 在点P 处“切过”曲线C. 下列命题正确的是 . (写出所有正确命题的编号) ①直线l: y = 0 在点P (0, 0) 处“切过”曲线C: y = x3; ②直线l: x = −1 在点P (−1, 0) 处“切过”曲线C: y = (x + 1)2; ③直线l: y = x 在点P (0, 0) 处“切过”曲线C: y = sin x; ④直线l: y = x 在点P (0, 0) 处“切过”曲线C: y = tan x; ⑤直线l: y = x −1 在点P (1, 0) 处“切过”曲线C: y = ln x. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设△ABC 的内角A, B, C 所对边的长分别是a, b, c, 且b = 3, c = 1, △ABC 的面积为 √ 2, 求cos A 与a 的值.
2. 2. 某高校共有学生15000 人, 其中男生10500 人, 女生4500 人, 为调查该校 学生每周平均体育运动时间的情况, 采用分层抽样的方法, 收集300 位学 生每周平均体育运动时间的样本数据(单位: 小时). 频率 组距 0 时间(小时) 0.100 0.150 0.125 0.075 0.025 2 4 6 8 10 12 (1) 应收集多少位女生样本数据? (2) 根据这300 个样本数据, 得到学生每周平均体育运动时间的频率分布 直方图(如图所示), 其中样本数据分组区间为: [0, 2], (2, 4], (4, 6], (6, 8], (8, 10], (10, 12]. 估计该校学生每周平均体育运动时间超过4 个小时的概 率; (3) 在样本数据中, 有60 位女生的每周平均体育运动时间超过4 个小时. 请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表, 并判断是否有95% 的把握 认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附: K2 = n(ad −bc)2 P (K2 ⩾k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 859
3. 3. 数列{an} 满足a1 = 1, nan+1 = (n + 1) an + n (n + 1), n ∈N∗. (1) 证明: 数列 {an n } 是等差数列; (2) 设bn = 3n · √an, 求数列{bn} 的前n 项和Sn.
4. 4. 如图, 四棱锥P −ABCD 的底面是边长为8 的正方形, 四条侧棱长均为 2 √ 17, 点G, E, F, H 分别是棱PB, AB, CD, PC 上共面的四点, 平面 GEFH ⊥平面ABCD, BC 平面GEFH. (1) 证明: GH EF; (2) 若EB = 2, 求四边形GEFH 的面积. A B C D P F E G H
5. 5. 设函数f (x) = 1 + (1 + a) x −x2 −x3, 其中a > 0. (1) 讨论f (x) 在其定义域上的单调性; (2) 当x ∈[0, 1] 时, 求f (x) 取得最大值和最小值时的x 的值.
6. 6. 设F1, F2 分别是椭圆E: x2 a2 + y b2 2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点, 过点 F1 的直线交椭圆E 于A, B 两点, |AF1| = 3 |BF1|. (1) 若|AB| = 4, △ABF2 的周长为16, 求|AF2|; (2) 若cos ∠AF2B = 3 5, 求椭圆E 的离心率. 860

原卷配图（含真实几何/应用题图示）