2014年安徽（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年安徽（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设i 是虚数单位, ¯z 表示复数z 的共轭复数. 若z = 1 + i, 则z i + i · ¯z =( ) 5分
   A. −2 B. −2i C. 2 D. 2i
2. 2. “x < 0”是“ln (x + 1) < 0”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 如图所示, 程序框图(算法流程图) 的输出结果是 ( ) 开始 x = 1, y = 1 z = x + y z ⩽50? x = y y = z 输出z 结束 是 否 5分
   A. 34 B. 55 C. 78 D. 89
4. 4. 以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 两 种坐标系中取相同的长度单位, 已知直线l 的参数方程是 { x = t + 1, y = t −3, (t 为参数), 圆C 的极坐标方程是ρ = 4 cos θ, 则直线l 被圆C 截得的弦长 为 ( ) (A) √ 14 √ 14 (C) √ 2 √ 2 5分
   B. 2 D. 2
5. 5. x, y 满足约束条件        x + y −2 ⩽0, x −2y −2 ⩽0, 2x −y + 2 ⩾0, 若z = y −ax 取得最大值的最优解 不唯一, 则实数a 的值为 ( ) 2 或−1 2 5分
   A. 1 B. 2 或1 C. 2 或1 D. 2 或−1
6. 6. 设函数f (x) (x ∈R) 满足f (x + π) = f (x) + sin x. 当0 ⩽x < π 时, (23π 6 ) = ( ) 2 (B) √ 3 2 2 5分
   F. (x) = 0, 则f A. 1 C. 0 D. −1
7. 7. 一个多面体的三视图如图所示, 则该多面体的表面积为 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 √ 3 √ 3 5分
   A. 21 + B. 18 + C. 21 D. 18
8. 8. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对, 其中所成的角为60◦的共 有 ( ) 5分
   A. 24 对 B. 30 对 C. 48 对 D. 60 对
9. 9. 若函数f (x) = |x + 1| + |2x + a| 的最小值为3, 则实数a 的值为 ( ) 5分
   A. 5 或8 B. −1 或5 C. −1 或−4 D. −4 或8
10. 10. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知向量a, b, |a| = |b| = 1, a·b = 0, 点Q 满 足# » OQ = √ 2(a + b). 曲线C = { P  # » OP = a cos θ + b sin θ, 0 ⩽θ < 2π } , 区域Ω= { P  0 < r ⩽ # » PQ  ⩽R, r < R } . 若C ∩Ω为两段分离的曲线, 则 ( ) 5分
    A. 1 < r < R < 3 B. 1 < r < 3 ⩽R C. r ⩽1 < R < 3 D. 1 < r < 3 < R

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 若将函数f (x) = sin ( 2x + π 4 ) 的图象向右平移φ 个单位, 所得图象关于 y 轴对称, 则φ 的最小正值是 . 5分
2. 2. 数列{an} 是等差数列, 若a1 + 1, a3 + 3, a5 + 5 构成公比为q 的等比数 列, 则q = . 5分
3. 3. 设a̸ = 0, n 是大于1 的自然数, ( 1 + x a )n 的展开式为a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn. 若点Ai (i, ai), (i = 0, 1, 2) 的位置如图所示, 则a = . x 1 2 y A0 A1 A2 • • • • • • • 1 3 4 O 5分
4. 4. 设F1, F2 分别是椭圆E: x2 + y2 b2 = 1 (0 < b < 1) 的左、右焦点, 过点F1 的直线交椭圆E 于A, B 两点, 若|AF1| = 3|BF1|, AF2 ⊥x 轴, 则椭圆E 的方程为 . 5分
5. 5. 已知两个不相等的非零向量a, b, 两组向量x1, x2, x3, x4, x5 和y1, y2, y3, y4, y5 均由2 个a 和3 个b 排列而成, 记S = x1 · y1 + x2 · y2 + x3 · y3 + x4 · y4 + x5 · y5, Smin 表示S 所有可能取值中的最小值. 则下列命题 正确的是 . (写出所有正确命题的编号) ①S 有5 个不同的值; ②若a ⊥b, 则Smin 与|a| 无关; ③若a b, 则Smin 与|b| 无关; ④若|b| > 4|a|, 则Smin > 0; ⑤若|b| = 2|a|, Smin = 8|a|2, 则a 与b 的夹角为π 4 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设△ABC 的内角A, B, C 所对边的长分别是a, b, c, 且b = 3, c = 1, (1) 求a 的值; (2) 求sin ( 4 ) 的值.
2. 2. 甲乙两人进行围棋比赛, 约定先连胜两局者直接赢得比赛, 若赛完5 局仍 未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛, 假设每局甲获胜的概率为2 3, 乙获胜的概率为1 3, 各局比赛结果相互独立. (1) 求甲在4 局以内(含4 局) 赢得比赛的概率; (2) 记X 为比赛决出胜负时的总局数, 求X 的分布列和均值(数学期望). 857
3. 3. 设函数f (x) = 1 + (1 + a) x −x2 −x3, 其中a > 0. (1) 讨论f (x) 在其定义域上的单调性; (2) 当x ∈[0, 1] 时, 求f (x) 取得最大值和最小值时的x 的值.
4. 4. 如图, 已知两条抛物线E1: y2 = 2p1x (p1 > 0) 和E2: y2 = 2p2x (p2 > 0), 过原点O 的两条直线l1 和l2, l1 与E1, E2 分别交于A1, A2 两点, l2 与 E1, E2 分别交于B1, B2 两点. (1) 证明: A1B1 A2B2; (2) 过原点O 作直线l (异于l1, l2) 与E1, E2 分别交于C1, C2 两点. 记 △A1B1C1 与△A2B2C2 的面积分别为S1 与S2, 求S1 S2 的值. x y O A2 B1 A1 B2 l1 l2 E1 E2
5. 5. 如图, 四棱柱ABCD−A1B1C1D1 中, A1A ⊥底面ABCD. 四边形ABCD 为梯形, AD BC, 且AD = 2BC. 过A1, C, D 三点的平面记为α, BB1 与α 的交点为Q. (1) 证明: Q 为BB1 的中点; (2) 求此四棱柱被平面α 所分成上下两部分的体积之比; (3) 若A1A = 4, CD = 2, 梯形ABCD 的面积为6, 求平面α 与底面 ABCD 所成二面角的大小. A B C D Q α A1 B1 C1 D1
6. 6. 设实数c > 0, 整数p > 1, n ∈N∗. (1) 证明: 当x > −1 且x̸ = 0 时, (1 + x)p > 1 + px; (2) 数列{an} 满足a1 > c 1 p , an+1 = p −1 p an + c pa1−p n , 证明: an > an+1 > c 1 p . 858

原卷配图（含真实几何/应用题图示）