2014年山东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年山东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知a, b ∈R, i 是虚数单位, 若a + i = 2 −bi, 则(a + bi)2 = ( ) 5分
   A. 3 −4i B. 3 + 4i C. 4 −3i D. 4 + 3i
2. 2. 设集合A = {x | x2 −2x < 0}, B = {x | 1 ⩽x ⩽4}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. (0, 2] B. (1, 2) C. [1, 2) D. (1, 4)
3. 3. 函数f (x) = 1 √ log2x −1 的定义域为 ( ) 5分
   A. (0, 2) B. (0, 2] C. (2, +∞) D. [2, +∞)
4. 4. 用反证法证明命题“设a, b 为实数, 则方程x3 + ax + b = 0 至少有一个实 根”时, 要做的假设是 ( ) 5分
   A. 方程x3 + ax + b = 0 没有实根 B. 方程x3 + ax + b = 0 至多有一个实根 C. 方程x3 + ax + b = 0 至多有两个实根 D. 方程x3 + ax + b = 0 恰好有两个实根
5. 5. 已知实数x, y 满足ax < ay (0 < a < 1), 则下列关系式恒成立的是 ( ) (D) 1 x2 + 1 > 1 y2 + 1 5分
   A. x3 > y3 B. sin x > sin y C. ln (x2 + 1) > ln (y2 + 1)
6. 6. 已知函数y = loga (x + c) (a, c 为常数, 其中a > 0, a̸ = 1) 的图象如图, 则 下列结论成立的是 ( ) 1 x y O 5分
   A. a > 1, c > 1 B. a > 1, 0 < c < 1 C. 0 < a < 1, c > 1 D. 0 < a < 1, 0 < c < 1
7. 7. 已知向量a = ( 1, √ 3 ) , b = (3, m). 若向量a, b 的夹角为π 6 , 则实数 m = ( ) √ 3 (B) √ 3 √ 3 5分
   A. 2 C. 0 D. −
8. 8. 为了研究某种药品的疗效, 选取若干名志愿者进行临床试验. 所有志愿 者的舒张压数据(单位: kPa) 的分组区间为[12, 13), [13, 14), [14, 15), [15, 16), [16, 17], 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组, 第二组, · · · , 第五组. 如图所示是根据试验数据制成的频率分布直方图. 已知第一组与 第二组共有20 人, 第三组中没有疗效的有6 人, 则第三组中有疗效的人数 为 ( ) 频率 组距 0 舒张压/kPa 12 13 14 15 16 17 0.24 0.36 0.16 0.08 5分
   A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
9. 9. 对于函数f (x), 若存在常数a̸ = 0, 使得x 取定义域内的每一个值, 都 有f (x) = f (2a −x), 则称f (x) 为准偶函数, 下列函数中是准偶函数的 是 ( ) 5分
   A. f (x) = √x B. f (x) = x3 C. f (x) = tan x D. f (x) = cos (x + 1)
10. 10. 已知x, y 满足约束条件 { x −y −1 ⩽0, 2x −y −3 ⩾0, 当目标函数z = ax + by (a > 0, √ 5 时, a2 + b2 的最小值为 ( ) (C) √ 5 5分
    B. > 0) 在该约束条件下取到最小值2 A. 5 B. 4 D. 2

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 执行如图所示的程序框图, 若输入的x 的值为1, 则输出的n 的值 为 . 开始 输入x n = 0 x2 −4x + 3 ⩽0 x = x + 1 n = n + 1 输出n 结束 是 否 5分
2. 2. 函数y = √ 3 2 sin 2x + cos2 x 最小正周期为 . 5分
3. 3. 一个六棱锥的体积为2 √ 3, 其底面是边长为2 的正六边形, 侧棱长都相等, 则该六棱锥的侧面积为 . 5分
4. 4. 圆心在直线x −2y = 0 上的圆C 与y 轴的正半轴相切, 圆C 截x 轴所得 弦的长为2 √ 3, 则圆C 的标准方程为 . 5分
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的焦距为2c, 右顶点为A, 抛物线 x2 = 2py (p > 0) 的焦点为F. 若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c, 且FA = c, 则双曲线的渐近线方程为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 海关对同时从A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测, 从各 地区进口此商品的数量(单位: 件) 如下表所示. 工作人员用分层抽样的方 法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 (1) 求这6 件样品中来自A, B, C 各地区商品的数量; (2) 若在这6 件样品中随机抽取2 件送往甲机构进行进一步检测, 求这2 件商品来自相同地区的概率.
2. 2. △ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知a = 3, cos A = √ 6 3 , 2 . (1) 求b 的值; (2) 求△ABC 的面积. 909
3. 3. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, AP ⊥平面PCD, AD BC, AB = BC = 1 2AD, E, F 分别为线段AD, PC 的中点. (1) 求证: AP 平面BEF; (2) 求证: BE ⊥平面PAC. A B C D E P F
4. 4. 在等差数列{an} 中, 已知公差d = 2, a2 是a1 与a4 的等比中项. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设bn = a n(n+1) 2 , 记Tn = −b1 + b2 −b3 + b4 −· · · + (−1)n bn, 求Tn.
5. 5. 设函数f (x) = a ln x + x −1 x + 1, 其中a 为常数. (1) 若a = 0, 求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程; (2) 讨论函数f (x) 的单调性.
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 2 , 直线y = x 被椭圆C 截得的线段长为4 √ 10 5 . (1) 求椭圆C 的方程; (2) 过原点的直线与椭圆C 交于A, B 两点(A, B 不是椭圆C 的顶点). 点D 在椭圆C 上, 且AD ⊥AB, 直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M, N 两点. ①设直线BD, AM 的斜率分别为k1, k2, 证明存在常数λ 使得 k1 = λk2, 并求出λ 的值; ②求△OMN 面积的最大值. 910

原卷配图（含真实几何/应用题图示）