2014年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年山东（理科）），共 17 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知a, b ∈R, i 是虚数单位, 若a −i 与2 + bi 互为共轭复数, 则 ( ) 5分
   A. + bi)2 = A. 5 −4i B. 5 + 4i C. 3 −4i D. 3 + 4i
2. 2. 设集合A = {x | |x −1| < 2}, B = {y | y = 2x, x ∈[0, 2]}, 则A∩B =( ) 5分
   A. [0, 2] B. (1, 3) C. [1, 3) D. (1, 4)
3. 3. 函数f (x) = 1 √ (log2x)2 −1 的定义域为 ( ) (A) ( 0, 1 2 ) (C) ( 0, 1 2 ) ∪(2, +∞) (D) ( 0, 1 2 ] ∪[2, +∞) 5分
   B. (2, +∞)
4. 4. 用反证法证明命题“设a, b 为实数, 则方程x3 + ax + b = 0 至少有一个实 根”时, 要做的假设是 ( ) 5分
   A. 方程x3 + ax + b = 0 没有实根 B. 方程x3 + ax + b = 0 至多有一个实根 C. 方程x3 + ax + b = 0 至多有两个实根 D. 方程x3 + ax + b = 0 恰好有两个实根
5. 5. 已知实数x, y 满足ax < ay (0 < a < 1), 则下列关系式恒成立的是 ( ) (A) 1 x2 + 1 > 1 y2 + 1 5分
   B. ln (x2 + 1) > ln (y2 + 1) C. sin x > sin y D. x3 > y3
6. 6. 直线y = 4x 与曲线y = x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) √ 2 √ 2 5分
   A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
7. 7. 为了研究某种药品的疗效, 选取若干名志愿者进行临床试验. 所有志愿 者的舒张压数据(单位: kPa) 的分组区间为[12, 13), [13, 14), [14, 15), [15, 16), [16, 17], 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组, 第二组, · · · , 第五组. 如图所示是根据试验数据制成的频率分布直方图. 已知第一组与 第二组共有20 人, 第三组中没有疗效的有6 人, 则第三组中有疗效的人数 为 ( ) 频率 组距 0 舒张压/kPa 12 13 14 15 16 17 0.24 0.36 0.16 0.08 5分
   A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
8. 8. 已知函数f (x) = |x −2| + 1, g (x) = kx, 若方程f (x) = g (x) 有两个不相 等的实根, 则实数k 的取值范围是 ( ) (A) ( 0, 1 2 ) (B) (1 2, 1 ) 5分
   C. (1, 2) D. (2, +∞)
9. 9. 已知x, y 满足约束条件 { x −y −1 ⩽0, 2x −y −3 ⩾0, 当目标函数z = ax + by (a > 0, √ 5 时, a2 + b2 的最小值为 ( ) (C) √ 5 5分
   B. > 0) 在该约束条件下取到最小值2 A. 5 B. 4 D. 2
10. 10. 已知a > b > 0, 椭圆C1 的方程为x2 a2 + y2 b2 = 1, 双曲线C2 的方程为 x2 a2 −y2 b2 = 1, C1 与C2 的离心率之积为 √ 3 2 , 则C2 的渐近线方程为( ) √ 2y = 0 (B) √ 2x ± y = 0 (C) x ± 2y = 0 5分
    A. x ± D. 2x ± y = 0

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 执行如图所示的程序框图, 若输入的x 的值为1, 则输出的n 的值 为 . 开始 输入x n = 0 x2 −4x + 3 ⩽0 x = x + 1 n = n + 1 输出n 结束 是 否 5分
2. 2. 在△ABC 中, 已知# » AB · # » AC = tan A, 当A = π 6 时, △ABC 的面积 为 . 5分
3. 3. 三棱锥P −ABC 中, D, E 分别为PB, PC 的中点, 记三棱锥D −ABE 的体积为V1, P −ABC 的体积为V2, 则V1 V2 = . 5分
4. 4. 若 ( ax2 + b x )6 的展开式中x3 项的系数为20, 则a2 + b2 的最小值 为 . 5分
5. 5. 已知函数y = f (x) (x ∈R). 对函数y = g (x) (x ∈I), 定义g (x) 关 于f (x) 的“对称函数”为函数y = h (x) (x ∈I), y = h (x) 满足: 对任 意x ∈I, 两个点(x, h (x)), (x, g (x)) 关于点(x, f (x)) 对称. 若h (x) 是 √ 4 −x2 关于f (x) = 3x + b 的“对称函数”, 且h (x) > g (x) 恒成 立, 则实数b 的取值范围是 . 5分
   G. (x) =

解答题（分值见原卷）（共 2 题）

1. 1. 已知向量a = (m, cos 2x), b = (sin 2x, n), 函数f (x) = a · b, 且y = f (x) 的图象过点 ( π 12, √ 3 ) 和点 (2π 3 , −2 ) . (1) 求m, n 的值; (2) 将y = f (x) 的图象向左平移φ (0 < φ < π) 个单位后得到函数 y = g (x) 的图象. 若y = g (x) 的图象上各最高点到点(0, 3) 的距离的最 小值为1, 求y = g (x) 的单调增区间.
2. 2. 如图, 在四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, 底面ABCD 是等腰梯形, ∠DAB = 60◦, AB = 2CD = 2, M 是线段AB 的中点. (1) 求证: C1M 平面A1ADD1; (2) 若CD1 垂直于平面ABCD 且CD1 = √ 3, 求平面C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角) 的余弦值. A B C D M A1 B1 C1 D1 907

原卷配图（含真实几何/应用题图示）