2014年广东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年广东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合M = {2, 3, 4}, N = {0, 2, 3, 5}, 则M ∩N ( ) 5分
   A. {0, 2} B. {2, 3} C. {3, 4} D. {3, 5}
2. 2. 已知复数z 满足(3 −4i) z = 25, 则z = ( ) 5分
   A. −3 −4i B. −3 + 4i C. 3 −4i D. 3 + 4i
3. 3. 已知向量a = (1, 2), b = (3, 1), 则b −a = ( ) 5分
   A. (−2, 1) B. (2, −1) C. (2, 0) D. (4, 3)
4. 4. 若变量x, y 满足约束条件        x + 2y ⩽8, 0 ⩽x ⩽4, 0 ⩽y ⩽3, 则z = 2x + y 的最大值等于( ) 5分
   A. 7 B. 8 C. 10 D. 11
5. 5. 下列函数为奇函数的是 ( ) 2x 5分
   A. 2x −1 B. x3 sin x C. 2 cos x + 1 D. x2 + 2x
6. 6. 为了解1000 名学生的学习情况, 采用系统抽样的方法, 从中抽取容量为40 的样本, 则分段的间隔为 ( ) 5分
   A. 50 B. 40 C. 25 D. 20
7. 7. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对应的边分别为a, b, c, 则“a ⩽b”是 “sin A ⩽sin B”的 ( ) 5分
   A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件
8. 8. 若实数k 满足0 < k < 5, 则曲线x2 16 − y2 5 −k = 1 与曲线 x2 16 −k −y2 5 = 1 的 ( ) 5分
   A. 实半轴长相等(B) 虚半轴长相等(C) 离心率相等 D. 焦距相等
9. 9. 若空间中四条两两不同的直线l1, l2, l3, l4, 满足l1 ⊥l2, l2 l3, l3 ⊥l4, 则 下列结论一定正确的是 ( ) l4 5分
   A. l1 ⊥l4 B. l1 C. l1, l4 既不垂直也不平行 D. l1, l4 的位置关系不确定
10. 10. 对任意复数w1, w2, 定义w1 ∗w2 = w1w2, 其中w2 是w2 的共轭复数, 对 任意复数z1, z2, z3 有如下四个命题: ①(z1 + z2)∗z3 = (z1 ∗z3)+(z2 ∗z3); ②z1∗(z2 + z3) = (z1 ∗z2)+(z1 ∗z3); ③(z1 ∗z2) ∗z3 = z1 ∗(z2 ∗z3); ④z1 ∗z2 = z2 ∗z1. 则真命题的个数是 ( ) 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 曲线y = −5ex + 3 在点(0, −2) 处的切线方程为 . 5分
2. 2. 从字母a, b, c, d, e 中任取两个不同字母, 则取到字母a 的概率为 . 5分
3. 3. 等比数列{an} 的各项均为正数, 且a1a5 = 4, 则log2 a1+log2 a2+log2 a3+ log2 a4 + log2 a5 = . 5分
4. 4. 在极坐标系中, 曲线C1 和C2 的方程分别为2ρcos2θ = sin θ 和ρ cos θ = 1, 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的正半轴, 建立平面直角坐 标系, 则曲线C1 和C2 的交点的直角坐标为 . 5分
5. 5. 如图, 在平行四边形ABCD 中, 点E 在AB 上, 且EB = 2AE, AC 与 DE 交于点F, 则△CDF 的周长 △AEF 的周长= . A D F E B C 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = A sin ( x + π 3 ) , x ∈R, 且f (5π 12 ) = 3 √ 2 2 . (1) 求A 的值; (2) 若f (θ) −f (−θ) = √ 3, θ ∈ ( 0, π 2 ) , 求f (π 6 −θ ) .
2. 2. 某车间20 名工人年龄数据如下表: 年龄(岁) 工人数(人) 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 (1) 求这20 名工人年龄的众数与极差; (2) 以〸位数为茎, 个位数为叶, 作出这20 名工人年龄的茎叶图; (3) 求这20 名工人年龄的方差.
3. 3. 如图1, 四边形ABCD 为矩形, PD ⊥平面ABCD, AB = 1, BC = PC = 2, 作如图2 折叠, 折痕EF DC. 其中点E, F 分别在线段PD, PC 上, 沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M, 并且MF ⊥CF. (1) 证明: CF ⊥平面MDF; (2) 求三棱锥M −CDE 的体积. A 图1 P B C D A 图2 M P F E B C D 879
4. 4. 设各项均为正数的数列{an} 的前n 项和为Sn, 且Sn 满足S2 n − (n2 + n −3) Sn −3 (n2 + n) = 0, n ∈N∗. (1) 求a1 的值; (2) 求数列{an} 的通项公式; (3) 证明: 对一切正整数n, 有 1 a1 (a1 + 1)+ 1 a2 (a2 + 1)+· · ·+ 1 an (an + 1) < 1 3.
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个焦点为 (√ 5, 0 ) , 离心率为 √ 5 3 . (1) 求椭圆C 的标准方程; (2) 若动点P (x0, y0) 为椭圆C 外一点, 且点P 到椭圆C 的两条切线相互 垂直, 求点P 的轨迹方程.
6. 6. 已知函数f (x) = 1 3x3 + x2 + ax + 1 (a ∈R). (1) 求函数f (x) 的单调区间; (2) 当a < 0 时, 试讨论是否存在x0 ∈ ( 0, 1 2 ) ∪ (1 2, 1 ) , 使得f (x0) = f (1 2 ) . 880

原卷配图（含真实几何/应用题图示）