2014年广东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年广东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合M = {−1, 0, 1}, N = {0, 1, 2}, 则M ∪N = ( ) 5分
   A. {0, 1} B. {−1, 0, 2} C. {−1, 0, 1, 2} (D) {−1, 0, 1}
2. 2. 已知复数z 满足(3 + 4i) z = 25, 则z = ( ) 5分
   A. −3 + 4i B. −3 −4i C. 3 + 4i D. 3 −4i
3. 3. 若变量x, y 满足约束条件        y ⩽x, x + y ⩽1, y ⩾−1, 且z = 2x + y 的最大值和最小值 分别为m 和n, 则m −n = ( ) 5分
   A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 4. 若实数k 满足0 < k < 9, 则曲线x2 25 − y2 9 −k = 1 与曲线 x2 25 −k −y2 9 = 1 的 ( ) 5分
   A. 焦距相等 B. 实半轴长相等(C) 虚半轴长相等(D) 离心率相等
5. 5. 已知向量a = (1, 0, −1), 则下列向量中与a 成60◦夹角的是 ( ) 5分
   A. (−1, 1, 0) B. (1, −1, 0) C. (0, −1, 1) D. (−1, 0, 1)
6. 6. 已知某地区中小学生人数和近视情况如图1 和图2 所示, 为了解该地区中 小学生的近视形成原因, 用分层抽样的方法抽取2% 的学生进行调查, 则样 本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ( ) 初中生 4500 名 小学生 3500 名 高中生 2000 名 图1 近视率/% O 10 30 50 图2 小学 初中 高中 年级 5分
   A. 200, 20 B. 100, 20 C. 200, 10 D. 100, 10
7. 7. 若空间中四条两两不同的直线l1, l2, l3, l4, 满足l1 ⊥l2, l2 ⊥l3, l3 ⊥l4, 则 下列结论一定正确的是 ( ) l4 5分
   A. l1 ⊥l4 B. l1 C. l1, l4 既不垂直也不平行 D. l1, l4 的位置关系不确定
8. 8. 设集合A = {(x1, x2, x3, x4, x5) | xi ∈{−1, 0, 1} , i = 1, 2, 3, 4, 5}, 那 么集合A 中满足条件“1 ⩽|x1| + |x2| + |x3| + |x4| + |x5| ⩽3”的元素个数 为 ( ) 5分
   A. 60 B. 90 C. 120 D. 130

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 不等式|x −1| + |x + 2| ⩾5 的解集为 . 5分
2. 2. 曲线y = e−5x + 2 在点(0, 3) 处的切线方程为 . 5分
3. 3. 从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 中任取七个不同的数, 则这七个数的中位数是 6 的概率为 . 5分
4. 4. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对应的边分别为a, b, c, 已知b cos C+c cos B = 2b, 则a . 5分
   B. =
5. 5. 若等比数列{an} 的各项均为正数, 且a10a11 + a9a12 = 2e5, 则ln a1 + ln a2 + · · · + ln a20 = . 5分
6. 6. 在极坐标系中, 曲线C1 和C2 的方程分别为ρsin2θ = cos θ 和ρ sin θ = 1, 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的正半轴, 建立平面直角坐 标系, 则曲线C1 和C2 的交点的直角坐标为 . 5分
7. 7. 如图, 在平行四边形ABCD 中, 点E 在AB 上, 且EB = 2AE, AC 与 DE 交于点F, 则△CDF 的面积 △AEF 的面积= . A D F E B C 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = A sin ( x + π 4 ) , x ∈R, 且f (5π 12 ) = 3 2. (1) 求A 的值; (2) 若f (θ) + f (−θ) = 3 2, θ ∈ ( 0, π 2 ) , 求f (3 4π −θ ) .
2. 2. 随机观测生产某种零件的某工厂25 名工人的日加工零件数(单位: 件), 获 得数据如下: 30, 42, 41, 36, 44, 40, 37, 37, 25, 45, 29, 43, 31, 36, 49, 34, 33, 43, 38, 42, 32, 34, 46, 39, 36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如 下: 分组 频数 频率 [25, 30] 3 0.12 (30, 35] 5 0.20 (35, 40] 8 0.32 (40, 45] n1 f1 (45, 50] n2 f2 (1) 确定样本频率分布表中n1, n2, f1 和f2 的值; (2) 根据上述频率分布表, 画出样本频率分布直方图; (3) 根据样本频率分布直方图, 求在该厂任取4 人, 至少有1 人的日加工零 件数落在区间(30, 35] 的概率.
3. 3. 如图, 四边形ABCD 为正方形, PD ⊥平面ABCD, ∠DPC = 30◦, AF ⊥PC 于点F, FE CD, 交PD 于点E. (1) 证明: CF ⊥平面ADF; (2) 求二面角D −AF −E 的余弦值. A P F E B C D 877
4. 4. 设数列{an} 的前n 和为Sn, 满足Sn = 2nan+1 −3n2 −4n, n ∈N∗, 且 S3 = 15. (1) 求a1, a2, a3 的值; (2) 求数列{an} 的通项公式.
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个焦点为 (√ 5, 0 ) , 离心率为 √ 5 3 . (1) 求椭圆C 的标准方程; (2) 若动点P (x0, y0) 为椭圆C 外一点, 且点P 到椭圆C 的两条切线相互 垂直, 求点P 的轨迹方程.
6. 6. 设函数f (x) = 1 √ (x2 + 2x + k)2 + 2 (x2 + 2x + k) −3 , 其中k < −2. (1) 求函数f (x) 的定义域D (用区间表示); (2) 讨论f (x) 在区间D 上的单调性; (3) 若k < −6, 求D 上满足条件f (x) > f (1) 的x 的集合(用区间表示). 878

原卷配图（含真实几何/应用题图示）