2014年新课标卷1（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年新课标卷1（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合M = {x | −1 < x < 3}, N = {x | −2 < x < 1}, 则M ∩N =( ) 5分
   A. (−2, 1) B. (−1, 1) C. (1, 3) D. (−2, 3)
2. 2. 若tan α > 0, 则 ( ) 5分
   A. sin 2α > 0 B. cos α > 0 C. sin α > 0 D. cos 2α > 0
3. 3. 设z = 1 1 + i + i, 则|z| = ( ) 2 (B) √ 2 2 (C) √ 3 2 5分
   A. 1 D. 2
4. 4. 已知双曲线x2 a2 −y2 3 = 1 (a > 0) 的离心率为2, 则a = ( ) (B) √ 6 2 (C) √ 5 2 5分
   A. 2 D. 1
5. 5. 设函数f (x), g (x) 的定义域都为R, 且f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数, 则下列结论正确的是 ( ) 5分
   A. f (x) |g (x) | 是奇函数 B. |f (x) |g (x) 是奇函数 C. f (x) g (x) 是偶函数 D. |f (x) g (x) | 是奇函数
6. 6. 设D, E, F 分别为△ABC 的三边BC, CA, AB 的中点, 则# » EB + # » FC = ( ) BC 2 # » AD AD 2 # » BC 5分
   A. # » B. 1 C. # » D. 1
7. 7. 在函数①y = cos |2x|, ②y = | cos x|, ③y = cos ( 2x + π 6 ) , ④ y = tan ( 2x −π 4 ) 中, 最小正周期为π 的所有函数为 ( ) 5分
   A. ②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①③
8. 8. 如图, 网格纸的各小格都是正方形, 粗实线画出的是一个几何体的三视图, 则这个几何体是 ( ) 5分
   A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱
9. 9. 执行如图的程序框图, 若输入的a, b, k 分别为1, 2, 3, 则输出的M = ( ) 开始 输入a, b, k n = 1 n ⩽k M = a + 1 b n = n + 1 输出M 结束 是 否 3 2 5 8 5分
   A. = b B. = M A. 20 B. 7 C. 16 D. 15
10. 10. 已知抛物线C: y2 = x 的焦点为F, A (x0, y0) 是C 上一点, |AF| = 5 4x0, 则x0 = ( ) 5分
    A. 4 B. 2 C. 1 D. 8
11. 11. 设x, y 满足约束条件 { x + y ⩾a, x −y ⩽−1, 且z = x + ay 的最小值为7, 则 ( ) 5分
    A. = A. −5 B. 3 C. −5 或3 D. 5 或−3
12. 12. 已知函数f (x) = ax3 −3x2 + 1, 若f (x) 存在唯一的零点x0, 且x0 > 0, 则a 的取值范围为 ( ) 5分
    A. (−∞, −2) B. (1, +∞) C. (2, +∞) D. (−∞, −1)

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 将2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行, 则2 本数学书 相邻的概率为 . 5分
2. 2. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A, B, C 三个城市时, 甲说: 我去过 的城市比乙多, 但没去过B 城市; 乙说: 我没去过C 城市; 丙说: 我们三人 去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 5分
3. 3. 设函数f (x) = { ex−1, x < 1, x 1 3 , x ⩾1, 则使得f (x) ⩽2 成立的x 的取值范围 是 . 5分
4. 4. 如图, 为测量山高MN, 选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点. 从 ∠MAC = 75◦; 从C 点测得∠MCA = 60◦. 已知山高BC = 100 m, 则山 高MN = m. A M B C N 5分
   A. 点测得M 点的仰角∠MAN = 60◦, C 点的仰角∠CAB = 45◦以及

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 已知{an} 是递增的等差数列, a2, a4 是方程x2 −5x + 6 = 0 的根. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 求数列 {an 2n } 的前n 项和.
2. 2. 从某企业生产的某种产品中抽取100 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如下频数分布表: 质量指标值分组 [75, 85) [85, 95) [95, 105) [105, 115) [115, 125) 频数 6 26 38 22 8 (1) 作出这些数据的频率分布直方图; 频率 组距 0 质量指标值 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 0.022 0.024 0.026 0.028 0.030 0.032 0.034 0.036 0.038 0.040 75 85 95 105 115 125 (2) 估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表); (3) 根据以上抽样调查数据, 能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指 标值不低于95 的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 901
3. 3. 如图, 三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧面BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O, 且AO ⊥平面BB1C1C. (1) 证明: B1C ⊥AB; (2) 若AC ⊥AB1, ∠CBB1 = 60◦, BC = 1, 求三棱柱ABC −A1B1C1 的 高. A B1 A1 O B C C1
4. 4. 已知点P (2, 2), 圆C: x2 + y2 −8y = 0, 过点P 的动直线l 与圆C 交于 A, B 两点, 线段AB 的中点为M, O 为坐标原点. (1) 求M 的轨迹方程; (2) 当|OP| = |OM| 时, 求l 的方程及△POM 的面积.
5. 5. 设函数f (x) = a ln x+ 1 −a 2 x2 −bx (a̸ = 1), 曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线斜率为0. (1) 求b; (2) 若存在x0 ⩾1 使得f (x0) < a
6. 6. 如图, 四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形, AB 的延长线与DC 的延长 线交于点E, 且CB = CE. (1) 证明: ∠D = ∠E; (2) 设AD 不是⊙O 的直径, AD 的中点为M, 且MB = MC, 证明: △ADE 为等边三角形. A E M O B C D •
7. 7. 已知曲线C: x2 4 + y2 9 = 1, 直线l: { x = 2 + t, y = 2 −2t, (t 为参数). (1) 写出曲线C 的参数方程, 直线l 的普通方程; (2) 过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30◦的直线, 交l 于点A, 求|PA| 的最大值与最小值.
8. 8. 若a > 0, b > 0, 且1 √ ab. (1) 求a3 + b3 的最小值; (2) 是否存在a, b, 使得2a + 3b = 6? 并说明理由. 902

原卷配图（含真实几何/应用题图示）