2014年新课标卷1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年新课标卷1（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {x | x2 −2x −3 ⩾0}, B = {x | −2 ⩽x < 2}, 则A ∩ ( ) 5分
   B. = A. [−2, −1] B. [−1, 2) C. [−1, 1] D. [1, 2)
2. 2. (1 + i)3 (1 −i)2 = ( ) 5分
   A. 1 + i B. 1 −i C. −1 + i D. −1 −i
3. 3. 设函数f (x), g (x) 的定义域都为R, 且f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数, 则下列结论正确的是 ( ) 5分
   A. f (x) g (x) 是偶函数 B. |f (x)| g (x) 是奇函数 C. |g (x)| f (x) 是奇函数 D. |f (x) g (x)| 是奇函数
4. 4. 已知F 是双曲线C: x2 −my2 = 3m (m > 0) 的一个焦点, 则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) (A) √ 3 (C) √ 3m 5分
   B. 3 D. 3m
5. 5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、周日都 有同学参加公益活动的概率为 ( ) 8 8 8 8 5分
   A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
6. 6. 如图, 圆O 的半径为1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点, 角x 的始边为 射线OA, 终边为射线OP, 过点P 作直线OA 的垂线, 垂足为M, 将点 M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f (x), 则y = f (x) 在[0, π] 上的图 象大致为 ( ) M A O x P (A) x π y 1 O (B) x π y 1 O (C) x π y 1 O (D) x π y 1 O 5分
7. 7. 执行如图的程序框图, 若输入的a, b, k 分别为1, 2, 3, 则输出的M = ( ) 开始 输入a, b, k n = 1 n ⩽k M = a + 1 b n = n + 1 输出M 结束 是 否 3 2 5 8 5分
   A. = b B. = M A. 20 B. 7 C. 16 D. 15
8. 8. 设α ∈ ( 0, π 2 ) , β ∈ ( 0, π 2 ) , 且tan α = 1 + sin β cos β , 则 ( ) 2 2 2 2 5分
   A. 3α −β = π B. 3α + β = π C. 2α −β = π D. 2α + β = π
9. 9. 不等式组 { x + y ⩾1, x −2y ⩽4 的解集记为D. 有下面四个命题: p1: ∀(x, y) ∈D, x + 2y ⩾−2; p2: ∃(x, y) ∈D, x + 2y ⩾2; p3: ∀(x, y) ∈D, x + 2y ⩽3; p4: ∃(x, y) ∈D, x + 2y ⩽−1. 其中真命题是 ( ) 5分
   A. p2, p3 B. p1, p2 C. p1, p4 D. p1, p3
10. 10. 已知抛物线C: y2 = 8x 的焦点为F, 准线为l, P 是l 上一点, Q 是直线 PF 与C 的一个交点, 若# » FP = 4# » FQ, 则|QF| = ( ) 2 2 5分
    A. 7 B. 3 C. 5 D. 2
11. 11. 已知函数f (x) = ax3 −3x2 + 1, 若f (x) 存在唯一的零点x0, 且x0 > 0, 则a 的取值范围为 ( ) 5分
    A. (2, +∞) B. (1, +∞) C. (−∞, −2) D. (−∞, −1)
12. 12. 如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的各条棱中, 最长的棱的长度为 ( ) √ 2 √ 2 5分
    A. 6 B. 6 C. 4 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (x −y) (x + y)8 的展开式中x2y7 的系数为 . (用数字填写答案) 5分
2. 2. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A, B, C 三个城市时, 甲说: 我去过 的城市比乙多, 但没去过B 城市; 乙说: 我没去过C 城市; 丙说: 我们三人 去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 5分
3. 3. 已知A, B, C 是圆O 上的三点, 若# » AO = 1 2 (# » AB + # » AC ) , 则# » AB 与# » AC 的夹角为 . 5分
4. 4. 已知a, b, c 分别为△ABC 的三个内角A, B, C 的对边, a = 2, 且 (2 + b) (sin A −sin B) = (c −b) sin C, 则△ABC 面积的最大值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn, a1 = 1, an̸ = 0, anan+1 = λSn −1, 其中 λ 为常数. (1) 证明: an+2 −an = λ; (2) 是否存在λ, 使得{an} 为等差数列? 并说明理由. 899
2. 2. 从某企业生产的某种产品中抽取500 件, 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量结果得如下频率分布直方图: 频率 组距 0 质量指标值 0.009 0.022 0.033 0.024 0.008 0.002 165 175 185 195 205 215 225 235 (1) 求这500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s2 (同一组数 据用该区间的中点值作代表); (2) 由频率分布直方图可以认为, 这种产品的质量指标值Z 服从正态分布 N (µ, σ2), 其中µ 近似为样本平均数x, σ2 近似为样本方差s2. ①利用该正态分布, 求P (187.8 < Z < 212.2); ②某用户从该企业购买了100 件这种产品, 记X 表示这100 件产品 中质量指标值位于区间(187.8, 212.2) 的产品件数, 利用①的结果, 求EX. 附: √ 150 ≈12.2, 若Z ∼N (µ, σ2), 则P (µ −σ < Z < µ + σ) = 0.6826, P (µ −2σ < Z < µ + 2σ) = 0.9544.
3. 3. 如图, 三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧面BB1C1C 为菱形, AB ⊥B1C. (1) 证明: AC = AB1; (2) 若AC ⊥AB1, ∠CBB1 = 60◦, AB = BC, 求二面角A −A1B1 −C1 的余弦值. A B1 A1 B C C1
4. 4. 已知点A (0, −2), 椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 3 2 , F 是椭圆的右焦点, 直线AF 的斜率为2 √ 3 3 , O 为坐标原点. (1) 求E 的方程; (2) 设过点A 的动直线l 与E 相交于P, Q 两点, 当△OPQ 的面积最大 时, 求l 的方程.
5. 5. 设函数f (x) = aex ln x + bex−1 x , 曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线 方程为y = e (x −1) + 2. (1) 求a, b; (2) 证明: f (x) > 1.
6. 6. 如图, 四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形, AB 的延长线与DC 的延长 线交于点E, 且CB = CE. (1) 证明: ∠D = ∠E; (2) 设AD 不是⊙O 的直径, AD 的中点为M, 且MB = MC, 证明: △ADE 为等边三角形. A E M O B C D •
7. 7. 已知曲线C: x2 4 + y2 9 = 1, 直线l: { x = 2 + t, y = 2 −2t, (t 为参数). (1) 写出曲线C 的参数方程, 直线l 的普通方程; (2) 过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30◦的直线, 交l 于点A, 求|PA| 的最大值与最小值.
8. 8. 若a > 0, b > 0, 且1 √ ab. (1) 求a3 + b3 的最小值; (2) 是否存在a, b, 使得2a + 3b = 6? 并说明理由. 900

原卷配图（含真实几何/应用题图示）