2014年新课标卷2（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年新课标卷2（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {−2, 0, 2}, B = {x | x2 −x −2 = 0}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. ∅ B. {2} C. {0} D. {−2}
2. 2. 1 + 3i 1 −i = ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. −1 + 2i C. 1 −2i D. −1 −2i
3. 3. 函数f (x) 在x = x0 处导数存在, 若p: f ′ (x0) = 0; q: x = x0 是f (x) 的 极值点, 则 ( ) 5分
   A. p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件, 但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件, 但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件, 也不是q 的必要条件
4. 4. 设向量a, b 满足|a + b| = √ 10, |a −b| = √ 6, 则a · b = ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
5. 5. 等差数列{an} 的公差是2, 若a2, a4, a8 成等比数列, 则{an} 的前n 项 和Sn = ( ) 2 2 5分
   A. n (n + 1) B. n (n −1) C. n (n + 1) D. n (n −1)
6. 6. 如图, 网格纸上正方形小格的边长为1 (表示1 cm), 图中粗线画出的是某 零件的三视图, 该零件由一个底面半径为3 cm, 高为6 cm 的圆柱体毛坯 切削得到, 则切削掉的部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( ) 27 9 27 3 5分
   A. 17 B. 5 C. 10 D. 1
7. 7. 正三棱柱ABC −A1B1C1 的底面边长为2, 侧棱长为 √ 3, D 为BC 中点, 则三棱锥A −B1DC1 的体积为 ( ) 2 (D) √ 3 2 5分
   A. 3 B. 3 C. 1
8. 8. 执行如图所示的程序框图, 如果输入的x, t 均为2, 则输出的S = ( ) 开始 输入x, t M = 1, S = 3 k = 1 k ⩽t M = M k x 输出S S = M + S k = k + 1 结束 是 否 5分
   A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 9. 设x, y 满足约束条件        x + y −1 ⩾0, x −y −1 ⩽0, x −3y + 3 ⩾0, 则z = x + 2y 的最大值为 ( ) 5分
   A. 8 B. 7 C. 2 D. 1
10. 10. 设F 为抛物线C: y2 = 3x 的焦点, 过F 且倾斜角为30◦的直线交C 于 A, B 两点, 则|AB| = ( ) (A) √ 30 3 √ 3 5分
    B. 6 C. 12 D. 7
11. 11. 若函数f (x) = kx−ln x 在区间(1, +∞) 单调递增, 则k 的取值范围是( ) 5分
    A. (−∞, −2] B. (−∞, −1] C. [2, +∞) D. [1, +∞)
12. 12. 设点M (x0, 1), 若在圆O: x2 + y2 = 1 上存在点N, 使得∠OMN = 45◦, 则x0 的取值范围是 ( ) (B) [ −1 2, 1 2 ] (C) [ − √ 2, √ 2 ] (D) [ − √ 2 2 , √ 2 2 ] 5分
    A. [−1, 1]

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3 种颜色的运动服中选择1 种, 则他们选择相同颜色运动服的概率为 . 5分
2. 2. 函数f (x) = sin (x + φ) −2 sin φ cos x 的最大值为 . 5分
3. 3. 偶函数y = = 2 对称, f (3) = 3, 则 . 5分
   F. (x) 的图象关于直线x F. (−1) =
4. 4. 数列{an} 满足an+1 = 1 1 −an , a8 = 2, 则a1 = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 四边形ABCD 的内角A 与C 互补, AB = 1, BC = 3, CD = DA = 2. (1) 求C 和BD; (2) 求四边形ABCD 的面积.
2. 2. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥平面ABCD, E 为PD 的中点. (1) 证明: PB 平面AEC; (2) 设AP = 1, AD = √ 3, 三棱锥P −ABD 的体积V = √ 3 4 , 求A 到平 面PBC 的距离. B C E P D A 905
3. 3. 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况, 随机访问了50 位市民, 根据这50 位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高), 绘制茎叶图如 下: 甲部门 乙部门 3 5 9 4 4 0 4 4 8 9 7 5 1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9 9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0 6 0 1 1 2 3 4 6 8 8 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0 7 0 0 1 1 3 4 4 9 6 6 5 5 2 0 0 8 1 2 3 3 4 5 6 3 2 2 2 0 9 0 1 1 4 5 6 10 0 0 0 (1) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90 的概率; (3) 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
4. 4. 设F1、F2 分别是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点, M 是 (1) 若直线MN 的斜率为3 4, 求C 的离心率; (2) 若直线MN 在y 轴上的截距为2, 且|MN| = 5|F1N|, 求a, b.
5. 5. 已知函数f (x) = x3 −3x2 + ax + 2, 曲线y = f (x) 在点(0, 2) 处的切线 与x 轴交点的横坐标为−2. (1) 求a; (2) 证明: 当k < 1 时, 曲线y = f (x) 与直线y = kx −2 只有一个交点.
6. 6. 如图, P 是⊙O 外一点, PA 是切线, A 为切点, 割线PBC 与⊙O 相交于 点B, C, PC = 2PA, D 为PC 的中点, AD 的延长线交⊙O 于点E. 证 明: (1) BE = EC; (2) AD · DE = 2PB2. A E P O B C D •
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系, 半圆C 的极坐标方程为ρ = 2 cos θ, θ ∈ [ 0, π 2 ] . (1) 求C 的参数方程; (2) 设点D 在C 上, C 在D 处的切线与直线l : y = √ 3x + 2 垂直, 根据 (1) 中你得到的参数方程, 确定点D 的坐标.
8. 8. 设函数f (x) = x + 1 a  + |x −a| (a > 0). (1) 证明: f (x) ⩾2; (2) 若f (3) < 5, 求a 的取值范围. 906

原卷配图（含真实几何/应用题图示）