本卷为官方高考数学真题（2014年新课标卷2（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设集合M = {0, 1, 2}, N = {x | x2 −3x + 2 ⩽0}, 则M ∩N =
(
) 5分
A. {1}
B. {2}
C. {0, 1}
D. {1, 2}
-
2. 设复数z1, z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 = 2+i, 则z1z2 =(
) 5分
A. −5
B. 5
C. −4 + i
D. −4 −i
-
3. 设向量a, b 满足|a + b| =
√
10, |a −b| =
√
6, 则a · b =
(
) 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
-
4. 钝角三角形ABC 的面积是1
2, AB = 1, BC =
√
2, 则AC =
(
)
(B)
√
5 5分
A. 5
C. 2
D. 1
-
5. 某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良的概率是0.75, 连
续两天为优良的概率是0.6, 已知某天的空气质量为优良, 则随后一天的空
气质量为优良的概率是
(
) 5分
A. 0.8
B. 0.75
C. 0.6
D. 0.45
-
6. 如图, 网格纸上正方形小格的边长为1 (表示1 cm), 图中粗线画出的是某
零件的三视图, 该零件由一个底面半径为3 cm, 高为6 cm 的圆柱体毛坯
切削得到, 则切削掉的部分的体积与原来毛坯体积的比值为
(
)
27
9
27
3 5分
A. 17
B. 5
C. 10
D. 1
-
7. 执行如图所示的程序框图, 如果输入的x, t 均为2, 则输出的S =
(
)
开始
输入x, t
M = 1, S = 3
k = 1
k ⩽t
M = M
k x
输出S
S = M + S
k = k + 1
结束
是
否 5分
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
-
8. 设曲线y = ax −ln (x + 1) 在点(0, 0) 处的切线方程为y = 2x, 则a =(
) 5分
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
-
9. 设x, y 满足约束条件
x + y −7 ⩽0,
x −3y + 1 ⩽0,
3x −y −5 ⩾0,
则z = 2x −y 的最大值为
(
) 5分
A. 10
B. 8
C. 3
D. 2
-
10. 设F 为抛物线C: y2 = 3x 的焦点, 过F 且倾斜角为30◦的直线交C 于
A, B 两点, O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为
(
)
√
3
4
√
3
8
32
4 5分
A. 3
B. 9
C. 63
D. 9
-
11. 直三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠BCA = 90◦, M, N 分别是A1B1, A1C1
的中点, BC = CA = CC1, 则BM 与AN 所成角的余弦值为
(
)
10
5
(C)
√
30
10
(D)
√
2
2 5分
A. 1
B. 2
-
12. 设函数f (x) =
√
3 sin πx
m , 若存在f (x) 的极值点x0 满足x2
0 + [f (x0)]2 <
m2, 则m 的取值范围是
(
) 5分
A. (−∞, −6) ∪(6, +∞)
B. (−∞, −4) ∪(4, +∞)
C. (−∞, −2) ∪(2, +∞)
D. (−∞, −1) ∪(1, +∞)
-
1. 已知数列{an} 满足a1 = 1, an+1 = 3an + 1.
(1) 证明
{
an + 1
2
}
是等比数列, 并求{an} 的通项公式;
(2) 证明: 1
a1
+ 1
a2
+ · · · + 1
an
< 3
2.
-
2. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥平面ABCD, E
为PD 的中点.
(1) 证明: PB
平面AEC;
(2) 设二面角D −AE −C 为60◦, AP = 1, AD =
√
3, 求三棱锥E −ACD
的体积.
B
C
E
P
D
A
903
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3. 某地区2007 年至2013 年农村居民家庭人均纯收入y (单位: 千元) 的数据
如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1) 求y 关于t 的线性回归方程;
(2) 利用(1) 中的回归方程, 分析2007 年至2013 年该地区农村居民家庭
人均纯收入的变化情况, 并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入.
附: 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
bb =
n∑
i=1
(
ti −t
)
(yi −y)
n∑
i=1
(
ti −t
)2
, ba = y −bbt.
-
4. 设F1、F2 分别是椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点, M 是
(1) 若直线MN 的斜率为3
4, 求C 的离心率;
(2) 若直线MN 在y 轴上的截距为2, 且|MN| = 5|F1N|, 求a, b.
-
5. 已知函数f (x) = ex −e−x −2x.
(1) 讨论f (x) 的单调性;
(2) 设g (x) = f (2x) −4bf (x), 当x > 0 时, g (x) > 0, 求b 的最大值;
(3) 已知1.4142 <
√
2 < 1.4143, 估计ln 2 的近似值(精确到0.001).
-
6. 如图, P 是⊙O 外一点, PA 是切线, A 为切点, 割线PBC 与⊙O 相交于
点B, C, PC = 2PA, D 为PC 的中点, AD 的延长线交⊙O 于点E. 证
明:
(1) BE = EC;
(2) AD · DE = 2PB2.
A
E
P
O
B
C
D
•
-
7. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系, 半圆C 的极坐标方程为ρ = 2 cos θ, θ ∈
[
0, π
2
]
.
(1) 求C 的参数方程;
(2) 设点D 在C 上, C 在D 处的切线与直线l: y =
√
3x + 2 垂直, 根据
(1) 中你得到的参数方程, 确定点D 的坐标.
-
8. 设函数f (x) =
x + 1
a
+ |x −a| (a > 0).
(1) 证明: f (x) ⩾2;
(2) 若f (3) < 5, 求a 的取值范围.
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