2014年江苏

本卷为官方高考数学真题（2014年江苏），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 已知集合A = {−2, −1, 3, 4}, B = {−1, 2, 3}, 则A ∩B = . 5分
2. 2. 已知复数z = (5 + 2i)2 (i 为虚数单位), 则z 的实部为 . 5分
3. 3. 如图是一个算法流程图, 则输出的n 的值是 . 开始 n ←0 n ←n + 1 2n > 20 输出n 结束 Y N 5分
4. 4. 从1, 2, 3, 6 这4 个数中一次随机地取2 个数, 则所取2 个数的乘积为6 的概率是 . 5分
5. 5. 已知函数y = cos x 与y = sin (2x + φ) (0 ⩽φ < π), 它们的图象有一个 横坐标为π 3 的交点, 则φ 的值是 . 5分
6. 6. 为了了解一片经济林的生长情况, 随机抽测了其中60 株树木的底部周长 (单位: cm), 所得数据均在区间[80, 130] 上, 其频率分布直方图如图所示, 则在抽测的60 株树木中, 有 株树木的底部周长小于100 cm. 频率 组距 0 底部周长/cm 80 90 100 110 120 130 0.015 0.025 0.030 0.020 0.010 5分
7. 7. 在各项均为正数的等比数列{an} 中, 若a2 = 1, a8 = a6 + 2a4, 则a6 的值 是 . 5分
8. 8. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2, 体积分别为V1、V2, 若它们的 侧面积相等, 且S1 S2 = 9 4, 则V1 V2 的值是 . 5分
9. 9. 在平面直角坐标系xOy 中, 直线x+2y−3 = 0 被圆(x −2)2+(y + 1)2 = 4 截得的弦长为 . 5分
10. 10. 已知函数f (x) = x2 + mx −1, 若对于任意x ∈[m, m + 1], 都有f (x) < 0 成立, 则实数m 的取值范围是 . 5分
11. 11. 在平面直角坐标系xOy 中, 若曲线y = ax2 + b x (a, b 为常数) 过点 P (2, −5), 且该曲线在点P 处的切线与直线7x + 2y + 3 = 0 平行, 则 . 5分
    A. + b 的值是
12. 12. 如图, 在平行四边形ABCD 中, 已知AB = 8, AD = 5, # » CP = 3# » PD, # » AP · # » BP = 2, 则# » AB · # » AD 的值是 . A D P B C 5分
13. 13. 已知f (x) 是定义在R 上且周期为3 的函数, 当x ∈[0, 3) 时, f (x) = x2 −2x + 1 2 . 若函数y = f (x) −a 在区间[−3, 4] 上有10 个零点(互不 相同), 则实数a 的取值范围是 . 5分
14. 14. 若△ABC 的内角满足sin A + √ 2 sin B = 2 sin C, 则cos C 的最小值 是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 9 题）

1. 1. 已知α ∈ (π 2 , π ) , sin α = √ 5 5 . (1) 求sin (π 4 + α ) 的值; (2) 求cos (5 6π −2α ) 的值.
2. 2. 如图, 在三棱锥P −ABC 中, D, E, F 分别为棱PC, AC, AB 的中点. 已 知PA ⊥AC, PA = 6, BC = 8, DF = 5. (1) 求证: 直线PA 平面DEF; (2) 平面BDE ⊥平面ABC. C B D E P A F
3. 3. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, F1, F2 分别是椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 椭圆于点A, 过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C, 连接F1C. (1) 若点C 的坐标为 (4 3, 1 3 ) , 且BF2 = √ 2, 求椭圆的方程; (2) 若F1C ⊥AB, 求椭圆离心率e 的值. x y O F1 F2 C A B
4. 4. 如图, 为了保护河上古桥OA, 规划建一座新桥BC, 同时设立一个圆形保 护区. 规划要求: 新桥BC 与河岸AB 垂直; 保护区的边界为圆心M 在线 段OA 上并与BC 相切的圆, 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距 离均不少于80 m. 经测量, 点A 位于点O 正北方向60 m 处, 点C 位于 点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸), tan ∠BCO = 4 3. (1) 求新桥BC 的长; (2) 当OM 多长时, 圆形保护区的面积最大? 东 北 C B A M 170m 60m O • 889
5. 5. 已知函数f (x) = ex + e−x, 其中e 是自然对数的底数. (1) 证明: f (x) 是R 上的偶函数; (2) 若关于x 的不等式mf (x) ⩽e−x + m −1 在(0, +∞) 上恒成立, 求实 数m 的取值范围; (3) 已知正数a 满足: 存在x0 ∈[1, +∞), 使得f (x0) < a (−x03 + 3x0) 成 立. 试比较ea−1 与ae−1 的大小, 并证明你的结论.
6. 6. 设数列{an} 的前n 项和为Sn. 若对任意正整数n, 总存在正整数m, 使 得Sn = am, 则称{an} 是“H 数列”. (1) 若数列{an} 的前n 项和Sn = 2n (n ∈N∗), 证明: {an} 是“H 数列”; (2) 设{an} 是等差数列, 其首项a1 = 1, 公差d < 0. 若{an} 是“H 数列”, 求d 的值; (3) 证明: 对任意的等差数列{an}, 总存在两个“H 数列”{bn} 和{cn}, 使 得an = bn + cn (n ∈N∗) 成立.
7. 7. 四选二. 【A】如图, AB 是圆O 的直径, C、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点. 证 明: ∠OCB = ∠D. C B D O A 【B】已知矩阵A = [ −1 2 1 x ] , B = [ 1 1 2 −1 ] , 向量α = [ 2 y ] , x, y 为实数, 若Aα = Bα, 求x + y 的值. 【C】在平面直角坐标系xOy 中, 已知直线l 的参数方程为        x = 1 − √ 2 2 t, y = 2 + √ 2 2 t, (t 为参数), 直线l 与抛物线y2 = 4x 交于A, B 两点, 求线段AB 的长. 【D】已知x > 0, y > 0, 证明: (1 + x + y2) (1 + x2 + y) ⩾9xy.
8. 8. 盒中共有9 个球, 其中有4 个红球, 3 个黄球和2 个绿球, 这些球除颜色外 完全相同. (1) 从盒中一次随机取出2 个球, 求取出的2 个球颜色相同的概率P; (2) 从盒中一次随机取出4 个球, 其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1, x2, x3, 随机变量X 表示x1, x2, x3 中的最大数, 求X 的概率分布和 数学期望E (X).
9. 9. 已知函数f0 (x) = sin x x (x > 0), 设fn (x) 为fn−1 (x) 的导数, n ∈N∗. (1) 求2f1 (π 2 ) + π 2 f2 (π 2 ) 的值; (2) 证明: 对任意的n ∈N∗, 等式 nfn−1 (π 4 ) + π 4 fn (π 4 ) = √ 2 2 都成立. 890

原卷配图（含真实几何/应用题图示）