2014年江西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年江西（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若复数z 满足z (1 + i) = 2i (i 为虚数单位), 则|z| = ( ) (C) √ 2 (D) √ 3 5分
   A. 1 B. 2
2. 2. 设全集为R, 集合A = {x | x2 −9 < 0}, B = {x | −1 < x ⩽5}, 则 ( ) 5分
   A. ∩(∁RB) = A. (−3, 0) B. (−3, −1) C. (−3, −1] D. (−3, 3)
3. 3. 掷两颗均匀的骰子, 则点数之和为5 的概率等于 ( ) 18 9 6 12 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
4. 4. 已知函数f (x) = { x ⩾0, 2−x, x < 0, ) 4 2 5分
   A. · 2x, A. ∈R), 若f [f (−1)] = 1, 则a = ( A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
5. 5. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若3a = 2b, 则 2sin2B −sin2A sin2A 的值为 ( ) 9 3 2 5分
   A. −1 B. 1 C. 1 D. 7
6. 6. 下列叙述中正确的是 ( ) β 5分
   A. 若a, b, c ∈R, 则“ax2 + bx + c ⩾0”的充分条件是“b2 −4ac ⩽0” B. 若a, b, c ∈R, 则“ab2 > cb2”的充要条件是“a > c” C. 命题“对任意x ∈R, 有x2 ⩾0”的否定是“存在x ∈R, 有x2 ⩾0” D. l 是一条直线, α, β 是两个不同的平面, 若l ⊥α, l ⊥β, 则α
7. 7. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4 个变量之间的关 系, 随机抽查了52 名中学生, 得到统计数据如表1 至表4, 则与性别有关 联的可能性最大的变量是 ( ) 性别 成绩 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 36 52 性别 视力 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 性别 智商 偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 36 52 性别 阅读量 丰富 不丰富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计 16 36 52 5分
   A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量
8. 8. 阅读如下程序框图, 运行相应的程序, 则程序运行后输出的结果为 ( ) 开始 i = 1, S = 0 S = S + lg i i + 2 i = i + 2 S < −1 输出i 结束 是 否 5分
   A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
9. 9. 过双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交 于A. 若以C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过A, O 两点(O 为坐标 原点), 则双曲线C 的方程为 ( ) 4 −y2 12 = 1 (B) x2 7 −y2 9 = 1 8 −y2 8 = 1 12 −y2 4 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
10. 10. 在同一直角坐标系中, 函数y = ax2 −x + a 2 与y = a2x3 −2ax2 + x + a ( ) (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 5分
    A. ∈R) 的图象不可能的是

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 若曲线y = x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x −y + 1 = 0, 则点P 的 坐标是 . 5分
2. 2. 已知单位向量e1 与e2 的夹角为α, 且cos α = 1 3, 向量a = 3e1 −2e2, 则 |a| = . 5分
3. 3. 在等差数列{an} 中, a1 = 7, 公差为d, 前n 项和为Sn, 当且仅当n = 8 时Sn 取最大值, 则d 的取值范围为 . 5分
4. 4. 设椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左右焦点为F1, F2, 过F2 作x 轴 的垂线与C 交于A, B 两点, F1B 与y 轴交于点D, 若AD ⊥F1B, 则椭 圆C 的离心率等于 . 5分
5. 5. 已知x, y ∈R, 若|x| + |y| + |x −1| + |y −1| ⩽2, 则x + y 的取值范围 为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = (a + 2cos2x) cos (2x + θ) 为奇函数, 且f (π 4 ) = 0, 其中 (1) 求a, θ 的值; (2) 若f (α 4 ) = −2 5, α ∈ (π 2 , π ) , 求sin ( α + π 3 ) 的值.
2. 2. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = 3n2 −n 2 , n ∈N∗. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 证明: 对任意n > 1, 都有m ∈N∗, 使得a1, an, am 成等比数列. 893
3. 3. 已知函数f (x) = (4x2 + 4ax + a2) √x, 其中a < 0. (1) 当a = −4 时, 求f (x) 的单调递增区间; (2) 若f (x) 在区间[1, 4] 上的最小值为8, 求a 的值.
4. 4. 如图, 三棱柱ABC −A1B1C1 中, AA1 ⊥BC, A1B ⊥BB1. (1) 求证: A1C ⊥CC1; (2) 若AB = 2, AC = √ 3, BC = √ 7, 问AA1 为何值时, 三棱柱 ABC −A1B1C1 体积最大, 并求此最大值. A1 C A B C1 B1
5. 5. 如图, 已知抛物线C: x2 = 4y, 过点M (0, 2) 任作一直线与C 相交于A, (1) 证明: 动点D 在定直线上; (2) 作C 的任意一条切线l (不含x 轴) 与直线y = 2 相交于点N1, 与第 一问中的定直线相交于点N2, 证明: |MN2|2 −|MN1|2 为定值, 并求此定 值. x y O B A M D
6. 6. 将连续正整数1, 2, · · · , n (n ∈N∗) 从小到大排列构成一个数123 · · · n, 个数字, F (12) = 15), 现从这个数中随机取一个数字, p (n) 为恰好取到0 的概率. (1) 求p (100); (2) 当n ⩽2014 时, 求F (n) 的表达式; (3) 令g (n) 为这个数中数字0 的个数, f (n) 为这个数中数字9 的个数, 时p (n) 的最大值. 894

原卷配图（含真实几何/应用题图示）