2014年江西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年江西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. ¯z 是z 的共轭复数. 若¯z + z = 2, (z −¯z) i = 2 (i 为虚数单位), 则z =( ) 5分
   A. 1 + i B. −1 −i C. −1 + i D. 1 −i
2. 2. 函数f (x) = ln(x2 −x) 的定义域为 ( ) 5分
   A. (0, 1) B. [0, 1] C. (−∞, 0) ∪(1, +∞) D. (−∞, 0] ∪[1, +∞)
3. 3. 已知函数f (x) = 5|x|, g (x) = ax2−x (a ∈R). 若f [g (1)] = 1, 则a =( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. −1
4. 4. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对应的边分别为a, b, c, 若c2 = (a −b)2+6, 3 , 则△ABC 的面积是 ( ) √ 3 2 √ 3 2 √ 3 5分
   C. = π A. 3 B. 9 C. 3 D. 3
5. 5. 一几何体的直观图如图所示, 下列给出的四个俯视图中正确的是 ( ) 左(侧) 视 主(侧) 视 俯视 (A) (B) (C) (D) 5分
6. 6. 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4 个变量之间的关 系, 随机抽查了52 名中学生, 得到统计数据如表1 至表4, 则与性别有关 联的可能性最大的变量是 ( ) 性别 成绩 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 36 52 性别 视力 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 性别 智商 偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 36 52 性别 阅读量 丰富 不丰富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计 16 36 52 5分
   A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量
7. 7. 阅读如下程序框图, 运行相应的程序, 则程序运行后输出的结果为 ( ) 开始 i = 1, S = 0 S = S + lg i i + 2 i = i + 2 S < −1 输出i 结束 是 否 5分
   A. 7 B. 9 C. 10 D. 11
8. 8. 若f (x) = x2 + 2 ∫1 0 ∫1 0 3 3 5分
   F. (x) dx, 则 F. (x) dx = A. −1 B. −1 C. 1 D. 1
9. 9. 在平面直角坐标系中, A, B 分别是x 轴和y 轴上的动点, 若以AB 为直径 的圆C 与直线2x + y −4 = 0 相切, 则圆C 面积的最小值为 ( ) 5π 4π (C) ( 6 −2 √ 5 ) π 4π 5分
   A. 4 B. 3 D. 5
10. 10. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AB = 11, AD = 7, AA1 = 12, 一质点从顶点A 射向点E (4, 3, 12), 遇长方体的面反射(反射服从光的反 射原理), 将第i −1 次到第i 次反射点之间的线段记为li (i = 2, 3, 4), l1 = AE, 将线段l1, l2, l3, l4 竖直放置在同一水平线上, 则大致的图形 是 ( ) A B x E C D y A1 z B1 C1 D1 (A) l1 l2 l3 l4 (B) l1 l2 l3 l4 (C) l1 l2 l3 l4 (D) l1 l2 l3 l4 5分
11. 11. 对任意x, y ∈R, |x −1| + |x| + |y −1| + |y + 1| 的最小值为 ( ) 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 12. 若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 则线 段y = 1 −x (0 ⩽x ⩽1) 的极坐标方程为 ( ) 1 cos θ + sin θ, 0 ⩽θ ⩽π 2 1 cos θ + sin θ, 0 ⩽θ ⩽π 4 2 4 5分
    A. ρ = B. ρ = C. ρ = cos θ + sin θ, 0 ⩽θ ⩽π D. ρ = cos θ + sin θ, 0 ⩽θ ⩽π

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 10 件产品中有7 件正品, 3 件次品, 从中任取4 件, 则恰好取到1 件次品 的概率是 . 5分
2. 2. 若曲线y = e−x 上点P 处的切线平行于直线2x + y + 1 = 0, 则点P 的坐 标是 . 5分
3. 3. 已知单位向量e1 与e2 的夹角为α, 且cos α = 1 3, 向量a = 3e1 −2e2 与 . 5分
   B. = 3e1 −e2 的夹角为β, 则cos β =
4. 4. 过点M (1, 1) 作斜率为−1 2 的直线与椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 相 交于A, B 两点, 若M 是线段AB 的中点, 则椭圆C 的离心率等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = sin (x + θ) + a cos (x + 2θ), 其中a ∈R, θ ∈ ( −π 2 , π 2 ) . (1) 当a = √ 2, θ = π 4 时, 求f (x) 在区间[0, π] 上的最大值与最小值; (2) 若f (π 2 ) = 0, f (π) = 1, 求a, θ 的值.
2. 2. 已知首项都是1 的两个数列{an}, {bn} (bn̸ = 0, n ∈N∗) 满足anbn+1 − an+1bn + 2bn+1bn = 0. (1) 令cn = an bn , 求数列{cn} 的通项公式; (2) 若bn = 3n−1, 求数列{an} 的前n 项和Sn. 891
3. 3. 已知函数f (x) = (x2 + bx + b) √1 −2x (b ∈R). (1) 当b = 4 时, 求f (x) 的极值; (2) 若f (x) 在区间 ( 0, 1 3 ) 上单调递增, 求b 的取值范围.
4. 4. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, ABCD 为矩形, 平面PAD ⊥平面ABCD. (1) 求证: AB ⊥PD; (2) 若∠BPC = 90◦, PB = √ 2, PC = 2. 问AB 为何值时, 四棱锥 P −ABCD 的体积最大? 并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦 值. D C B A P
5. 5. 如图, 已知双曲线C: x2 a2 −y2 = 1 (a > 0) 的右焦点为F. 点A, B 分别在 OA (O 为坐标原点). (1) 求双曲线C 的方程; (2) 过C 上一点P (x0, y0) (y0̸ = 0) 的直线l: x0x a2 −y0y = 1, 与直线AF 相交于点M, 与直线x = 3 2 相交于点N. 证明: 当点P 在C 上移动时, |MF| |NF| 恒为定值, 并求此定值. x y O B A F
6. 6. 随机将1, 2, · · · , 2n (n ∈N∗, n ⩾2) 这2n 个连续正整数分成A, B 两组, 每组n 个数, A 组最小数为a1, 最大数为a2; B 组最小数为b1, 最大数为 b2, 记ξ = a2 −a1, η = b2 −b1. (1) 当n = 3 时, 求ξ 的分布列和数学期望; (2) 令C 表示事件“ξ 与η 的取值恰好相等”, 求事件C 发生的概率P (C); (3) 对(2) 中的事件C, C 表示C 的对立事件, 判断P ( C ) 和P (C) 的大 小关系, 并说明理由. 892

原卷配图（含真实几何/应用题图示）