2014年浙江（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年浙江（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合S = {x | x ⩾2}, T = {x | x ⩽5}, 则S ∩T = ( ) 5分
   A. (−∞, 5] B. [2, +∞) C. (2, 5) D. [2, 5]
2. 2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC, BD, 则“四边形ABCD 为菱形”是 “AC ⊥BD”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 某几何体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则该几何体的体积是 ( ) 4 4 3 3 3 3 3 正视图 俯视图 侧视图 5分
   A. 72 cm3 B. 90 cm3 C. 108 cm3 D. 138 cm3
4. 4. 为了得到函数y = sin 3x + cos 3x 的图象, 可以将函数y = √ 2 cos 3x 的图 象 ( ) 4 个单位 4 个单位 12 个单位 12 个单位 5分
   A. 向右平移π B. 向左平移π C. 向右平移π D. 向左平移π
5. 5. 已知圆x2 + y2 + 2x −2y + a = 0 截直线x + y + 2 = 0 所得弦的长度为4, 则实数a 的值为 ( ) 5分
   A. −2 B. −4 C. −6 D. −8
6. 6. 设m, n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面 ( ) α, 则m ⊥α β, β ⊥α, 则m ⊥α 5分
   A. 若m ⊥n, n B. 若m C. 若m ⊥β, n ⊥β, n ⊥α, 则m ⊥α D. 若m ⊥n, n ⊥β, β ⊥α, 则m ⊥α
7. 7. 已知函数f (x) = x3 + ax2 + bx + c, 且0 < f (−1) = f (−2) = f (−3) ⩽3, 则 ( ) 5分
   A. c ⩽3 B. 3 < c ⩽6 C. 6 < c ⩽9 D. c > 9
8. 8. 在同一直角坐标系中, 函数f (x) = xa (x ⩾0), g (x) = logax 的图象可能 是 ( ) (A) 1 x y 1 −1 O (B) 1 x y 1 −1 O (C) 1 x y 1 −1 O (D) 1 x y 1 −1 O 5分
9. 9. 设θ 为两个非零向量a, b 的夹角. 已知对任意实数t, |b + ta| 的最小值为 1. 则 ( ) 5分
   A. 若θ 确定, 则|a| 唯一确定 B. 若θ 确定, 则|b| 唯一确定 C. 若|a| 确定, 则θ 唯一确定 D. 若|b| 确定, 则θ 唯一确定
10. 10. 如图, 某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练, 已 知点A 到墙面的距离为AB, 某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动, 此 人为了准确瞄准目标点P, 需计算由点A 观察点P 的仰角θ 的大小(仰 角θ 为直线AP 与平面ABC 所成的角), 若AB = 15 m, AC = 25 m, ∠BCM = 30◦, 则tan θ 的最大值是 ( ) C M A P B (A) √ 30 5 (B) √ 30 10 √ 3 9 √ 3 9 5分
    C. 4 D. 5

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 已知i 是虚数单位, 计算 1 −i (1 + i)2 = . 5分
2. 2. 若实数x, y 满足        x + 2y −4 ⩽0, x −y −1 ⩽0, x ⩾1, 则x + y 的取值范围是 . 5分
3. 3. 若某程序框图如图所示, 当输入50 时, 则该程序运行后输出的结果 是 . 开始 输入n S = 0, i = 1 S = 2S + i i = i + 1 S > n? 输出i 结束 是 否 5分
4. 4. 在3 张奖劵中有一、二等奖各一张, 另1 张无奖. 甲、乙两人各抽取一张, 两人都中奖的概率为 . 5分
5. 5. 设函数f (x) = { x2 + 2x + 2, x ⩽0, −x2, x > 0. 若f (f (a)) = 2, 则a = . 5分
6. 6. 已知实数a, b, c 满足a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 1, 则a 的最大值 是 . 5分
7. 7. 设直线x −3y + m = 0 (m̸ = 0) 与双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的 两条渐近线分别交于点A, B. 若点P (m, 0) 满足|PA| = |PB|, 则该双曲 线的离心率是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 已知4sin2 A −B 2 + 4 sin A sin B = 2 + √ 2. (1) 求角C 的大小; (2) 已知b = 4, △ABC 的面积为6, 求边长c 的值. 929
2. 2. 已知等差数列{an} 的公差d > 0, 设{an} 的前n 项和为Sn, a1 = 1, S2 · S3 = 36. (1) 求d 及Sn; (2) 求m, k (m, k ∈N∗) 的值, 使得am + am+1 + am+2 + · · · + am+k = 65.
3. 3. 如图, 在四棱锥A −BCDE 中, 平面ABC ⊥平面BCDE, ∠CDE = ∠BED = 90◦, AB = CD = 2, DE = BE = 1, AC = √ 2. (1) 证明: AC ⊥平面BCDE; (2) 求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值. C B D A E
4. 4. 已知函数f (x) = x3 + 3|x −a| (a > 0), 若f (x) 在[−1, 1] 上的最小值记 为g (a). (1) 求g (a); (2) 证明: 当x ∈[−1, 1] 时, 恒有f (x) ⩽g (a) + 4.
5. 5. 已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C: x2 = 4y 上, F 为抛物线C 的焦 点, 点M 为AB 的中点, # » PF = 3# » FM. (1) 若|PF| = 3, 求点M 的坐标; (2) 求△ABP 面积的最大值. x y O P B A M F 930

原卷配图（含真实几何/应用题图示）