2014年浙江（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年浙江（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设全集U = {x ∈N | x ⩾2}, 集合A = {x ∈N | x2 ⩾5}, 则∁UA = ( ) 5分
   A. ∅ B. {2} C. {5} D. {2, 5}
2. 2. 已知i 是虚数单位, a, b ∈R, 则“a = b = 1”是“(a + bi)2 = 2i”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 某几何体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此几何体的表面积是 ( ) 4 4 3 3 3 3 3 正视图 俯视图 侧视图 5分
   A. 90 cm2 B. 129 cm2 C. 132 cm2 D. 138 cm2
4. 4. 为了得到函数y = sin 3x + cos 3x 的图象, 可以将函数y = √ 2 cos 3x 的图 象 ( ) 4 个单位 4 个单位 12 个单位 12 个单位 5分
   A. 向右平移π B. 向左平移π C. 向右平移π D. 向左平移π
5. 5. 在(1 + x)6 (1 + y)4 的展开式中, 记xmyn 项的系数为f (m, n), 则f (3, 0)+ ( ) 5分
   F. (2, 1) + f (1, 2) + f (0, 3) = A. 45 B. 60 C. 120 D. 210
6. 6. 已知函数f (x) = x3 + ax2 + bx + c, 且0 < f (−1) = f (−2) = f (−3) ⩽3, 则 ( ) 5分
   A. c ⩽3 B. 3 < c ⩽6 C. 6 < c ⩽9 D. c > 9
7. 7. 在同一直角坐标系中, 函数f (x) = xa (x ⩾0), g (x) = logax 的图象可能 是 ( ) (A) 1 x y 1 −1 O (B) 1 x y 1 −1 O (C) 1 x y 1 −1 O (D) 1 x y 1 −1 O 5分
8. 8. 记max {x, y} = { x, x ⩾y, y, x < y, min {x, y} = { y, x ⩾y, x, x < y, 设a, b 为平面 向量, 则 ( ) { |a + b|2, |a −b|2} ⩽|a|2 + |b|2 { |a + b|2, |a −b|2} ⩾|a|2 + |b|2 5分
   A. min {|a + b| , |a −b|} ⩽min {|a| , |b|} B. min {|a + b| , |a −b|} ⩾min {|a| , |b|} C. max D. max
9. 9. 已知甲盒中仅有1 个球且为红球, 乙盒中有m 个红球和n 个蓝球 (m ⩾3, n ⩾3), 从乙盒中随机抽取i (i = 1, 2) 个球放入甲盒中. 则 ( ) 5分
   A. 放入i 个球后, 甲盒中含有红球的个数记为ξi (i = 1, 2); B. 放入i 个球后, 从甲盒中取1 个球是红球的概率记为pi (i = 1, 2). A. p1 > p2, E (ξ1) < E (ξ2) B. p1 < p2, E (ξ1) > E (ξ2) C. p1 > p2, E (ξ1) > E (ξ2) D. p1 < p2, E (ξ1) < E (ξ2)
10. 10. 设函数f1 (x) = x2, f2 (x) = 2 (x −x2), f3 (x) = 1 3 |sin 2πx|, ai = i 99, i = 0, 1, 2, · · · , 99. 记Ik = |fk (a1) −fk (a0)| + |fk (a2) −fk (a1)| + · · · + |fk (a99) −fk (a98)|, k = 1, 2, 3, 则 ( ) 5分
    A. I1 < I2 < I3 B. I2 < I1 < I3 C. I1 < I3 < I2 D. I3 < I2 < I1

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 若某程序框图如图所示, 当输入50 时, 则该程序运行后输出的结果 是 . 开始 输入n S = 0, i = 1 S = 2S + i i = i + 1 S > n? 输出i 结束 是 否 5分
2. 2. 随机变量ξ 的取值为0, 1, 2, 若P (ξ = 0) = 1 5, E (ξ) = 1, 则 . 5分
   D. (ξ) =
3. 3. 当实数x, y 满足        x + 2y −4 ⩽0, x −y −1 ⩽0, x ⩾1 时, 1 ⩽ax + y ⩽4 恒成立, 则实数a 的取值范围是 . 5分
4. 4. 在8 张奖券中有一、二、三等奖各1 张, 其余5 张无奖. 将这8 张奖券分 配给4 个人, 每人2 张, 不同的获奖情况有 种(用数字作答). 5分
5. 5. 设函数f (x) = { x2 + x, x < 0, −x2, x ⩾0. 若f (f (a)) ⩽2, 则实数a 的取值范围 是 . 5分
6. 6. 设直线x −3y + m = 0 (m̸ = 0) 与双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的 两条渐近线分别交于点A, B. 若点P (m, 0) 满足|PA| = |PB|, 则该双曲 线的离心率是 . 5分
7. 7. 如图, 某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练. 已 知点A 到墙面的距离为AB, 某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动, 此 人为了准确瞄准目标点P, 需计算由点A 观察点P 的仰角θ 的大小. 若 AB = 15 m, AC = 25 m, ∠BCM = 30◦, 则tan θ 的最大值是 . (仰 角θ 为直线AP 与平面ABC 所成角) C M A P B 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 已知a̸ = b, c = √ 3, cos2A −cos2B = √ 3 sin A cos A − √ 3 sin B cos B. (1) 求角C 的大小; (2) 若sin A = 4 5, 求△ABC 的面积. 927
2. 2. 已知数列{an} 和{bn} 满足a1a2a3 · · · an = (√ 2 )bn (n ∈N∗). 若{an} 为 等比数列, 且a1 = 2, b3 = 6 + b2. (1) 求an 与bn; (2) 设cn = 1 an −1 bn (n ∈N∗). 记数列{cn} 的前n 项和为Sn. ①求Sn; ②求正整数k, 使得对任意n ∈N∗, 均有Sk ⩾Sn.
3. 3. 如图, 在四棱锥A −BCDE 中, 平面ABC ⊥平面BCDE, ∠CDE = ∠BED = 90◦, AB = CD = 2, DE = BE = 1, AC = √ 2. (1) 证明: DE ⊥平面ACD; (2) 求二面角B −AD −E 的大小. C B D A E
4. 4. 如图, 设椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), 动直线l 与椭圆C 只有一个公 共点P, 且点P 在第一象限. (1) 已知直线l 的斜率为k, 用a, b, k 表示点P 的坐标; (2) 若过原点O 的直线l1 与l 垂直, 证明: 点P 到直线l1 的距离的最大 值为a −b. x y O l P l1
5. 5. 已知函数f (x) = x3 + 3 |x −a| (a ∈R). (1) 若f (x) 在[−1, 1] 上的最大值和最小值分别记为M (a), m (a), 求 M (a) −m (a); (2) 设b ∈R, 若[f (x) + b]2 ⩽4 对x ∈[−1, 1] 恒成立, 求3a + b 的取值 范围. 928

原卷配图（含真实几何/应用题图示）