2014年湖北（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年湖北（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 集合A = {1, 3, 5, 6}, 则 ∁UA = ( ) 5分
   A. {1, 3, 5, 6} B. {2, 3, 7} C. {2, 4, 7} D. {2, 5, 7}
2. 2. i 为虚数单位, 则 (1 −i 1 + i )2 = ( ) 5分
   A. 1 B. −1 C. i D. −i
3. 3. 命题“∀x ∈R, x2̸ = x”的否定是 ( ) 5分
   A. ∀x /∈R, x2̸ = x B. ∀x ∈R, x2 = x C. ∃x /∈R, x2̸ = x D. ∃x ∈R, x2 = x
4. 4. 若变量x, y 满足约束条件        x + y ⩽4, x −y ⩽2, x ⩾0, y ⩾0, 则2x + y 的最大值是 ( ) 5分
   A. 2 B. 4 C. 7 D. 8
5. 5. 随机掷两枚质地均匀的骰子, 它们向上的点数之和不超过5 的概率记为p1, 点数之和大于5 的概率记为p2, 点数之和为偶数的概率记为p3, 则 ( ) 5分
   A. p1 < p2 < p3 B. p2 < p1 < p3 C. p1 < p3 < p2 D. p3 < p1 < p2
6. 6. 根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 −0.5 0.5 −2.0 −3.0 得到的回归方程为by = bx + a, 则 ( ) 5分
   A. a > 0, b < 0 B. a > 0, b > 0 C. a < 0, b < 0 D. a < 0, b > 0
7. 7. 在如图所示的空间直角坐标系O −xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是 (0, 0, 2), (2, 2, 0), (1, 2, 1), (2, 2, 2). 给出编号为①②③④的四个图, 则该四 面体的正视图和俯视图分别为 ( ) 2 1 2 1 2 1 z y x O 图① 图② 图③ 图④ 5分
   A. ①和② B. ③和① C. ④和③ D. ④和②
8. 8. 设a, b 是关于t 的方程t2 cos θ+t sin θ = 0 的两个不等实根, 则过A (a, a2), x2 cos2 θ − y2 sin2 θ = 1 的公共点的个数为( ) 5分
   B. (b, b2) 两点的直线与双曲线 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 9. 已知f (x) 是定义在R 上的奇函数, 当x ⩾0 时, f (x) = x2 −3x. 则函数 ( ) (C) { 2 − √ 7, 1, 3 } (D) { −2 − √ 7, 1, 3 } 5分
   G. (x) = f (x) −x + 3 的零点的集合为 A. {1, 3} B. {−3, −1, 1, 3}
10. 10. 《算数书》竹简于上世纪八〸年代在湖北省江陵县张家山出土, 这是我国现 存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术: 置如其周, 令相乘 也. 又以高乘之, 三〸六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与 高h, 计算其体积V 的近似公式V ≈1 36L2h. 它实际上是将圆锥体积公式 中的圆周率π 近似取为3. 那么, 近似公式V ≈2 75L2h 相当于将圆锥体积 公式中的π 近似取为 ( ) 7 8 50 113 5分
    A. 22 B. 25 C. 157 D. 355

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800 件, 采用分层抽样的方法从中抽 取一个容量为80 的样本进行质量检测. 若样本中有50 件产品由甲设备生 产, 则乙设备生产的产品总数为 件. 5分
2. 2. 若向量# » OA = (1, −3), # » OA  = # » OB , # » OA · # » OB = 0, 则 # » AB  = . 5分
3. 3. 在△ABC 中, 角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 已知A = π 6 , a = 1, √ 3, 则B = . 5分
   B. =
4. 4. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入n 的值为9, 则输出S 的值为 . 开始 输入n k = 1, S = 0 k ⩽n? S = S + 2k + k k = k + 1 输出S 结束 否 是 5分
5. 5. 如图所示, 函数y = f (x) 的图象由两条射线和三条线段组成. x a 2a 3a −3a−2a −a y −a a O y = f(x) 若∀x ∈R, f (x) > f (x −1), 则正实数a 的取值范围为 . 5分
6. 6. 某项研究表明: 在考虑行车安全的情况下, 某路段车流量F (单位时间内 经过测量点的车辆数, 单位: 辆/小时) 与车流速度v (假设车辆以相同速 度v 行驶, 单位: 米/秒), 平均车长l (单位: 米) 的值有关, 其公式为 76000v v2 + 18v + 20l. (1) 如果不限定车型, l = 6.05, 则最大车流量为 辆/小时; (2) 如果限定车型, l = 5, 则最大车流量比(1) 中的最大车流量增 加 辆/小时. 5分
   F. =
7. 7. 已知圆O: x2 + y2 = 1 和点A (−2, 0), 若定点B (b, 0) (b̸ = −2) 和常数λ 满足: 对圆O 上任意一点M, 都有|MB| = λ|MA|, 则 (1) b = ; (2) λ = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 某实验室一天的温度(单位: ◦C) 随时间t (单位: h) 的变化近似满足函数 关系: f (t) = 10 − √ 3 cos π 12t −sin π 12t, t ∈[0, 24). (1) 求实验室这一天上午8 时的温度; (2) 求实验室这一天的最大温差.
2. 2. 已知等差数列{an} 满足: a1 = 2, 且a1, a2, a5 成等比数列. (1) 求数列{an} 的通项公式. (2) 记Sn 为数列{an} 的前n 项和, 是否存在正整数n, 使得Sn > 60n + 800? 若存在, 求出n 的最小值; 若不存在, 说明理由. 883
3. 3. 如图, 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E、F、P、Q、M、N 分别是棱 AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1 的中点. 求证: (1) 直线BC1 平面EFPQ; (2) 直线AC1 ⊥平面PQMN. A B Q E M C D P F N A1 B1 C1 D1
4. 4. π 为圆周率, e = 2.71828 · · · 为自然对数的底数. (1) 求函数f (x) = ln x x 的单调区间; (2) 求e3, 3e, eπ, πe, 3π, π3 这6 个数中的最大数与最小数.
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, 点M 到点F (1, 0) 的距离比它到y 轴的距离 多1, 记点M 的轨迹为C. (1) 求轨迹为C 的方程; (2) 设斜率为k 的直线l 过定点P (−2, 1), 求直线l 与轨迹C 恰好有一个 公共点, 两个公共点, 三个公共点时k 的相应取值范围. 884

原卷配图（含真实几何/应用题图示）