2014年湖北（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年湖北（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. i 为虚数单位, 则 (1 −i 1 + i )2 = ( ) 5分
   A. −1 B. 1 C. −i D. i
2. 2. 若二项式 ( 2x + a x )7 的展开式中1 x3 的系数是84, 则实数a = ( ) (B) 5√ 4 (D) √ 2 4 5分
   A. 2 C. 1
3. 3. 设U 为全集, A, B 是集合, 则“存在集合C 使得A ⊆C, B ⊆∁UC”是 “A ∩B = ∅”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 −0.5 0.5 −2.0 −3.0 得到的回归方程为by = bx + a, 则 ( ) 5分
   A. a > 0, b > 0 B. a > 0, b < 0 C. a < 0, b > 0 D. a < 0, b < 0
5. 5. 在如图所示的空间直角坐标系O −xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是 (0, 0, 2), (2, 2, 0), (1, 2, 1), (2, 2, 2). 给出编号为①②③④的四个图, 则该四 面体的正视图和俯视图分别为 ( ) 2 1 2 1 2 1 z y x O 图① 图② 图③ 图④ 5分
   A. ①和② B. ③和① C. ④和③ D. ④和②
6. 6. 若函数f (x), g (x) 满足 ∫1 −1 [−1, 1] 上的一组正交函数, 给出三组函数: ①f (x) = sin 1 2x, g (x) = cos 1 2x; ②f (x) = x + 1, g (x) = x −1; ③f (x) = x, g (x) = x2. 其中为区间[−1, 1] 上的正交函数的组数是 ( ) 5分
   F. (x) g (x) dx = 0, 则称f (x), g (x) 为区间 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 7. 由不等式组        x ⩽0, y ⩾0, y −x −2 ⩽0 确定的平面区域记为 Ω1, 不等式组 { x + y ⩽1, x + y ⩾−2 确定的平面区域记为Ω2, 在Ω1 中随机取一点, 则该点恰 好在Ω2 内的概率为 ( ) 8 4 4 8 5分
   A. 1 B. 1 C. 3 D. 7
8. 8. 《算数书》竹简于上世纪八〸年代在湖北省江陵县张家山出土, 这是我国现 存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术: 置如其周, 令相乘 也. 又以高乘之, 三〸六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与 高h, 计算其体积V 的近似公式V ≈1 36L2h. 它实际上是将圆锥体积公式 中的圆周率π 近似取为3. 那么, 近似公式V ≈2 75L2h 相当于将圆锥体积 公式中的π 近似取为 ( ) 7 8 50 113 5分
   A. 22 B. 25 C. 157 D. 355
9. 9. 已知F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点, 且 ∠F1PF2 = π 3 , 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( ) √ 3 3 √ 3 3 5分
   A. 4 B. 2 C. 3 D. 2
10. 10. 已知函数f (x) 是定义在R 上的奇函数, 当x ⩾ 0 时, f (x) = 1 2 (|x −a2| + |x −2a2| −3a2). 若∀x ∈R, f (x −1) ⩽f (x), 则实数a 的取值范围为 ( ) (A) [ −1 6, 1 6 ] (B) [ − √ 6 6 , √ 6 6 ] (C) [ −1 3, 1 3 ] (D) [ − √ 3 3 , √ 3 3 ] 5分

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 设向量a = (3, 3), b = (1, −1), 若(a + λb) ⊥(a −λb), 则实数λ = . 5分
2. 2. 直线l1: y = x + a 和l2: y = x + b 将单位圆C: x2 + y2 = 1 分成长度相 等的四段弧, 则a2 + b2 = . 5分
3. 3. 设a 是一个各位数字都不是0 且没有重复数字的三位数. 将组成a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为I (a), 按从大到小排成的三位数记为 框图, 运行相应的程序, 任意输入一个a, 输出的结果b = . 开始 输入a 输出b 结束 是 否 5分
   D. (a) (例如a = 815, 则I (a) = 158, D (a) = 851). 阅读如图所示的程序 B. = D(a) −I(a) B. = a? A. = b
4. 4. 设f (x) 是定义在(0, +∞) 上的函数, 且f (x) > 0, 对任意a > 0, b > 0, 若经过点(a, f (a)), (b, −f (b)) 的直线与x 轴的交点为(c, 0), 则称c 为a, 可得Mf (a, b) = c = a + b 2 , 即Mf (a, b) 为a, b 的算术平均数. (1) 当f (x) = (x > 0) 时, Mf (a, b) 为a, b 的几何平均数; (2) 当f (x) = (x > 0) 时, Mf (a, b) 为a, b 的调和平均数 2ab (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 5分
   B. 关于函数f (x) 的平均数, 记为Mf (a, b), 例如, 当f (x) = 1 (x > 0) 时, A. + b.
5. 5. 如图, P 为⊙O 外一点, 过P 点作⊙O 的两条切线, 切点分别为A, B, 过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C, D 两点. 若QC = 1, CD = 3, 则 PB = . Q A B O P D C • 5分
6. 6. 已知曲线C1 的参数方程是      x = √ t, y = √ 3t 3 , (t 为参数), 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2 的极坐标方程是ρ = 2, 则C1 与C2 交点的直角坐标为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某实验室一天的温度(单位: ◦C) 随时间t (单位: h) 的变化近似满足函数 关系: f (t) = 10 − √ 3 cos π 12t −sin π 12t, t ∈[0, 24). (1) 求实验室这一天的最大温差; (2) 若要求实验室温度不高于11◦C, 则在哪段时间实验室需要降温? 881
2. 2. 已知等差数列{an} 满足: a1 = 2, 且a1, a2, a5 成等比数列. (1) 求数列{an} 的通项公式. (2) 记Sn 为数列{an} 的前n 项和, 是否存在正整数n, 使得 Sn > 60n + 800? 若存在, 求出n 的最小值; 若不存在, 说明理由.
3. 3. 如图, 在棱长为2 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E, F, M, N 分别是 棱AB, AD, A1B1, A1D1 的中点, 点P, Q 分别在棱DD1, BB1 上移动, 且DP = BQ = λ (0 < λ < 2). (1) 当λ = 1 时, 证明: 直线BC1 平面EFPQ; (2) 是否存在λ, 使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角? 若存在, 求出λ 的值; 若不存在, 说明理由. A B Q E M C D P F N A1 B1 C1 D1
4. 4. 计划在某水库建一座至多安装3 台发电机的水电站, 过去50 年的水文资 料显示, 水库年入流量X (年入流量: 一年内上游来水与库区降水之和. 单 位: 亿立方米) 都在40 以上. 其中, 不足80 的年份有10 年, 不低于80 且 不超过120 的年份有35 年, 超过120 的年份有5 年. 将年入流量在以上 三段的频率作为相应段的概率, 并假设各年的年入流量相互独立. (1) 求未来4 年中, 至多有1 年的年入流量超过120 的概率; (2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行, 但每年发电机最多可运行台数 受年入流量X 限制, 并有如下关系; 年入流量X 40 < X < 80 80 ⩽X ⩽120 X > 120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行, 则该台年利润为5000 万元; 若某台发电机未运行, 则 该台年亏损800 万元, 欲使水电站年总利润的均值达到最大, 应安装发电 机多少台?
5. 5. 在平面直角坐标系xOy 中, 点M 到点F (1, 0) 的距离比它到y 轴的距离 多1, 记点M 的轨迹为C. (1) 求轨迹为C 的方程; (2) 设斜率为k 的直线l 过定点P (−2, 1), 求直线l 与轨迹C 恰好有一个 公共点, 两个公共点, 三个公共点时k 的相应取值范围.
6. 6. π 为圆周率, e = 2.71828 · · · 为自然对数的底数. (1) 求函数f (x) = ln x x 的单调区间; (2) 求e3, 3e, eπ, πe, 3π, π3 这6 个数中的最大数与最小数; (3) 将e3, 3e, eπ, πe, 3π, π3 这6 个数按从小到大的顺序排列, 并证明你的 结论. 882

原卷配图（含真实几何/应用题图示）