本卷为官方高考数学真题（2014年湖南（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设命题p: ∀x ∈R, x2 + 1 > 0, 则¬p 为
(
)
0 + 1 > 0
0 + 1 ⩽0
0 + 1 < 0 5分
A. ∃x0 ∈R, x2
B. ∃x0 ∈R, x2
C. ∃x0 ∈R, x2
D. ∀x ∈R, x2 + 1 ⩽0
-
2. 已知集合A = {x | x > 2}, B = {x | 1 < x < 3}, 则A ∩B =
(
) 5分
A. {x | x > 2}
B. {x | x > 1}
C. {x | 2 < x < 3}
D. {x | 1 < x < 3}
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3. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本, 当选取简单随机抽样、系统
抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时, 总体中每个个体被抽中的概率
分别为p1, p2, p3, 则
(
) 5分
A. p1 = p2 < p3
B. p2 = p3 < p1
C. p1 = p3 < p2
D. p1 = p2 = p3
-
4. 下列函数中, 既是偶函数又在区间(−∞, 0) 上单调递增的是
(
)
x2 5分
A. f (x) = 1
B. f (x) = x2 + 1(C) f (x) = x3
D. f (x) = 2−x
-
5. 在区间[−2, 3] 上随机选取一个数X, 则X ⩽1 的概率为
(
)
5
5
5
5 5分
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
-
6. 若圆C1: x2 +y2 = 1 与圆C2: x2 +y2 −6x−8y +m = 0 外切, 则m =(
) 5分
A. 21
B. 19
C. 9
D. −11
-
7. 执行如图所示的程序框图, 如果输入的t ∈[−2, 2], 则输出的S 属于
(
)
开始
输入t
t < 0?
S = t −3
t = 2t2 + 1
输出S
结束
否
是 5分
A. [−6, −2]
B. [−5, −1]
C. [−4, 5]
D. [−3, 6]
-
8. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示, 将该石材切削、打磨, 加工成球,
则能得到的最大球的半径等于
(
)
6
8
12
俯视图
侧视图
正视图 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
9. 若0 < x1 < x2 < 1, 则
(
) 5分
A. ex2 −ex1 > ln x2 −ln x1
B. ex2 −ex1 < ln x2 −ln x1
C. x2ex1 > x1ex2
D. x2ex1 < x1ex2
-
10. 在平面直角坐标系中, O 为原点, A (−1, 0), B
(
0,
√
3
)
, C (3, 0), 动点D 满
足
# »
CD
= 1, 则
# »
OA + # »
OB + # »
OD
的取值范围是
(
)
(B)
[√
19−1,
√
19+1
]
(C)
[
2
√
3, 2
√
7
]
(D)
[√
7−1,
√
7+1
] 5分
A. [4, 6]
-
1. 已知数列{an} 的前n 项和Sn = n2 + n
2
, n ∈N∗.
(1) 求数列{an} 的通项公式;
(2) 设bn = 2an + (−1)nan, 求数列{bn} 的前2n 项和.
-
2. 某企业有甲、乙两个研发小组, 为了比较他们的研发水平, 现随机抽取这
两个小组往年研发新产品的结果如下: (a, b),
(
a, b
)
, (a, b), (a, b),
(
a, b
)
,
(a, b), (a, b),
(
a, b
)
, (a, b),
(
a, b
)
,
(
a, b
)
, (a, b),
(
a, b
)
, (a, b), (a, b). 其中a,
(1) 若某组成功研发一种新产品, 则给该组记1 分, 否则记0 分, 试计算甲、
乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差, 并比较甲、乙两组的研发水平;
(2) 若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品, 试估计恰有一组研发成
功的概率.
-
3. 如图, 已知二面角α −MN −β 的大小为60◦, 菱形ABCD 在面β 内, A,
为O.
(1) 证明: AB ⊥平面ODE;
(2) 求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.
D
C
α
β
B
O
A
M
N
E
887
-
4. 如图, 在平面四边形ABCD 中, DA ⊥AB, DE = 1, EC =
√
7, EA = 2,
∠ADC = 2π
3 , ∠BEC = π
3 .
(1) 求sin ∠CED 的值;
(2) 求BE 的长.
D
C
B
A
E
-
5. 如图, O 为坐标原点, 双曲线C1: x2
a2
1
−y2
b2
1
= 1 (a1 > 0, b1 > 0) 和椭圆
C2: y2
a2
2
+ x2
b2
2
= 1 (a2 > b2 > 0) 均过点P
(
2
√
3
3 , 1
)
, 且以C1 的两个顶点
和C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2 的正方形.
(1) 求C1, C2 的方程;
(2) 是否存在直线l, 使得l 与C1 交于A, B 两点, 与C2 只有一个公共点,
且
# »
OA + # »
OB
=
# »
AB
? 证明你的结论.
x
y
O
P
-
6. 已知函数f (x) = x cos x −sin x + 1 (x > 0).
(1) 求f (x) 的单调区间;
(2) 记xi 为f (x) 的从小到大的第i (i ∈N∗) 个零点, 证明:
对一切
n ∈N∗, 有1
x2
1
+ 1
x2
2
+ · · · + 1
x2
n
< 2
3.
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