2014年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年湖南（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 满足z + i z = i (i 为虚数单位) 的复数z = ( ) 2 + 1 2i 2 −1 2i 2 + 1 2i 2 −1 2i 5分
   A. 1 B. 1 C. −1 D. −1
2. 2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本, 当选取简单随机抽样、系统 抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时, 总体中每个个体被抽中的概率 分别为p1, p2, p3, 则 ( ) 5分
   A. p1 = p2 < p3 B. p2 = p3 < p1 C. p1 = p3 < p2 D. p1 = p2 = p3
3. 3. 已知f (x), g (x) 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且f (x) −g (x) = x3 + x2 + 1, 则f (1) + g (1) = ( ) 5分
   A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
4. 4. (1 2x −2y )5 的展开式中x2y3 的系数是 ( ) 5分
   A. −20 B. −5 C. 5 D. 20
5. 5. 已知命题p: 若x > y, 则−x < −y; 命题q: 若x > y, 则x2 > y2, 在命题 ①p ∧q; ②p ∨q; ③p ∧(¬q); ④(¬p) ∨q 中, 真命题是 ( ) 5分
   A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
6. 6. 执行如图所示的程序框图, 如果输入的t ∈[−2, 2], 则输出的S 属于 ( ) 开始 输入t t < 0? S = t −3 t = 2t2 + 1 输出S 结束 否 是 5分
   A. [−6, −2] B. [−5, −1] C. [−4, 5] D. [−3, 6]
7. 7. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示, 将该石材切削、打磨, 加工成球, 则能得到的最大球的半径等于 ( ) 6 8 12 俯视图 侧视图 正视图 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 8. 某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为p, 第二年的增长率为 q, 则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ( ) 2 2 (D) √ (p + 1) (q + 1) −1 5分
   A. p + q B. (p + 1) (q + 1) −1 C. √pq
9. 9. 已知函数f (x) = sin (x −φ), 且 ∫ 2π 3 0 一条对称轴是 ( ) 6 12 3 6 5分
   F. (x) dx = 0, 则函数f (x) 的图象的 A. x = 5π B. x = 7π C. x = π D. x = π
10. 10. 已知函数f (x) = x2 + ex −1 2 (x < 0) 与g (x) = x2 + ln (x + a) 的图象上 存在关于y 轴对称的点, 则a 的取值范围是 ( ) (A) ( −∞, 1 √e ) (C) ( −1 √e, √e ) (D) ( −√e, 1 √e ) 5分
    B. (−∞, √e)

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 在平面直角坐标系中, 倾斜角为π 4 的直线l 与曲线C: { x = 2 + cos α, y = 1 + sin α, (α 为参数) 交于A, B 两点, 且|AB| = 2, 以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系, 则直线l 的极坐标方程是 . 5分
2. 2. 如图, 已知AB, BC 是⊙O 的两条弦, AO ⊥BC, AB = √ 3, BC = 2 √ 2, 则⊙O 的半径等于 . A B O C • 5分
3. 3. 若关于x 的不等式|ax −2| < 3 的解集为 { x  −5 3 < x < 1 3 } , 则 . 5分
   A. =
4. 4. 若变量x, y 满足约束条件        y ⩽x, x + y ⩽4, y ⩾k, 且z = 2x + y 的最小值为−6, 则 k = . 5分
5. 5. 如图, 正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a, b (a < b), 原点O 为AD 的中点, 抛物线y2 = 2px (p > 0) 经过C, F 两点, 则b . E F G D C B A x y O 5分
   A. =
6. 6. 在平面直角坐标系中, O 为原点, A (−1, 0), B ( 0, √ 3 ) , C (3, 0), 动点D 满 足 # » CD  = 1, 则 # » OA + # » OB + # » OD  的最大值是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某企业有甲、乙两个研发小组, 他们研发新产品成功的概率分别为2 3 和3 5. 现安排甲组研发新产品A, 乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互 独立. (1) 求至少有一种新产品研发成功的概率; (2) 若新产品A 研发成功, 预计企业可获利润120 万元; 若新产品B 研发 成功, 预计企业可获利润100 万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期 望.
2. 2. 如图, 在平面四边形ABCD 中, AD = 1, CD = 2, AC = √ 7. (1) 求cos ∠CAD 的值; (2) 若cos ∠BAD = − √ 7 14 , sin ∠CBA = √ 21 6 , 求BC 的长. D C B A 885
3. 3. 如图, 四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的所有棱长都相等, AC ∩BD = O, A1C1 ∩B1D1 = O1, 四边形ACC1A1 和四边形BDD1B1 均为矩形. (1) 证明: O1O ⊥底面ABCD; (2) 若∠CBA = 60◦, 求二面角C1 −OB1 −D 的余弦值. B C O O1 D A B1 C1 D1 A1
4. 4. 已知数列{an} 满足a1 = 1, |an+1 −an| = pn, n ∈N∗. (1) 若{an} 是递增数列, 且a1, 2a2, 3a3 成等差数列, 求p 的值; (2) 若p = 1 2, 且{a2n−1} 是递增数列, {a2n} 是递减数列, 求数列{an} 的 通项公式.
5. 5. 如图, O 为坐标原点, 椭圆C1: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分 别为F1、F2, 离心率为e1; 双曲线C2: x2 a2 −y2 b2 = 1 的左、右焦点分别为 F3、F4, 离心率为e2. 已知e1e2 = √ 3 2 , 且|F2F4| = √ 3 −1. (1) 求C1, C2 的方程; (2) 过F1 作C1 的不垂直于y 轴的弦AB, M 为弦AB 的中点. 当直线 OM 与C2 交于P, Q 两点时, 求四边形APBQ 面积的最小值. x y O F1 M F2 Q P A B F3 F4 • •
6. 6. 已知常数a > 0, 函数f (x) = ln (1 + ax) − 2x x + 2. (1) 讨论f (x) 在区间(0, +∞) 上的单调性; (2) 若f (x) 存在两个极值点x1, x2, 且f (x1) + f (x2) > 0, 求a 的取值范 围. 886

原卷配图（含真实几何/应用题图示）