2014年福建（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年福建（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 若集合P = {x | 2 ⩽x < 4}, Q = {x | x ⩾3}, 则P ∩Q 等于 ( ) 5分
   A. {x | 3 ⩽x < 4} B. {x | 3 < x < 4} C. {x | 2 ⩽x < 3} D. {x | 2 ⩽x ⩽3}
2. 2. 复数(3 + 2i) i 等于 ( ) 5分
   A. −2 −3i B. −2 + 3i C. 2 −3i D. 2 + 3i
3. 3. 以边长为1 的正方形的一边所在直线为旋转轴, 将该正方形旋转一周所得 圆柱的侧面积等于 ( ) 5分
   A. 2π B. π C. 2 D. 1
4. 4. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的n 的值为 ( ) 开始 n = 1 n = n + 1 2n > n2? 输出n 结束 否 是 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 5. 命题“∀x ∈[0, +∞), x3 + x ⩾0”的否定是 ( ) 0 + x0 < 0 0 + x0 ⩾0 5分
   A. ∀x ∈(−∞, 0), x3 + x < 0 B. ∀x ∈(−∞, 0), x3 + x ⩾0 C. ∃x0 ∈[0, +∞), x3 D. ∃x0 ∈[0, +∞), x3
6. 6. 已知直线l 过圆x2 + (y −3)2 = 4 的圆心, 且与直线x + y + 1 = 0 垂直, 则l 的方程是 ( ) 5分
   A. x + y −2 = 0 (B) x −y + 2 = 0 (C) x + y −3 = 0 (D) x −y + 3 = 0
7. 7. 将函数y = sin x 的图象向左平移π 2 个单位, 得到函数y = f (x) 的函数图 象, 则下列说法正确的是 ( ) 2 对称 ( −π 2 , 0 ) 对称 5分
   A. y = f (x) 是奇函数 B. y = f (x) 的周期是π C. y = f (x) 的图象关于直线x = π D. y = f (x) 的图象关于点
8. 8. 若函数y = logax (a > 0, 且a̸ = 1) 的图象如图所示, 则下列函数图象正 确的是 ( ) y y = loga x x 3 O 1 (A) y y = a−x x 1 O 3 (B) y y = xa x 1 O 1 (C) y y = (−x)a x 1 O 1 (D) y y = loga(−x) x −3 O −1 5分
9. 9. 要制作一个容积为4 m3, 高为1 m 的无盖长方体容器, 已知该容器的底面 造价是每平方米20 元, 侧面造价是是每平方米10 元, 则该容器的最低总 造价是 ( ) 5分
   A. 80 元 B. 120 元 C. 160 元 D. 240 元
10. 10. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形ABCD 所在 平面内任意一点, 则# » OA + # » OB + # » OC + # » OD 等于 ( ) OM OM OM OM 5分
    A. # » B. 2# » C. 3# » D. 4# »
11. 11. 已知圆C: (x −a)2 + (y −b)2 = 1, 平面区域Ω:        x + y −7 ⩽0, x −y + 3 ⩾0, y ⩾0, 若圆心 ( ) 5分
    C. ∈Ω, 且圆C 与x 轴相切, 则a2 + b2 的最大值为 A. 5 B. 29 C. 37 D. 49
12. 12. 在平面直角坐标系中, 两点P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) 间的“L−距离”定义为 ||P1P2| = |x1 −x2| + |y1 −y2|, 则平面内与x 轴上两个不同的定点F1, F2 的“L−距离”之和等于定值(大于||F1F2|) 的点的轨迹可以是 (A) y F1 x F2 O • • (B) y F1 x F2 O • • (C) y F1 x F2 O • • (D) y F1 x F2 O • • 5分

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 如图, 在边长为1 的正方形中, 随机撒1000 粒豆子, 有180 粒落到阴影部 分, 据此估计阴影部分的面积为 . 5分
2. 2. 在△ABC 中, A = 60◦, AC = 2, BC = √ 3, 则AB 等于 . 5分
3. 3. 函数f (x) = { x2 −2, x ⩽0, 2x −6 + ln x, x > 0, 的零点个数是 . 5分
4. 4. 已知集合{a, b, c} = {0, 1, 2}, 且下列三个关系: ①a̸ = 2; ②b = 2; ③ c̸ = 0 有且只有一个正确, 则100a + 10b + c = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在等比数列{an} 中, a2 = 3, a5 = 81. (1) 求an; (2) 设bn = log3an, 求数列{bn} 的前n 项和Sn. 875
2. 2. 已知函数f (x) = 2 cos x (sin x + cos x). (1) 求f (5π 4 ) 的值; (2) 求函数f (x) 的最小正周期及单调递增区间.
3. 3. 如图, 三棱锥A −BCD 中, AB ⊥平面BCD, CD ⊥BD. (1) 求证: CD ⊥平面ABD; (2) 若AB = BD = CD = 1, M 为AD 中点, 求三棱锥A −MBC 的体 积. A B C D M
4. 4. 根据世行2013 年新标准, 人均GDP 低于1035 美元为低收入国家; 人均 GDP 为1035−4085 美元为中等偏下收入国家; 人均GDP 为4085−12616 美元为中等偏上收入国家; 人均GDP 不低于12616 美元为高收入国家. 某 城市有5 个行政区, 各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表: 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP (单位: 美元) A 25% 8000 B 30% 4000 C 15% 6000 D 10% 3000 E 20% 10000 (1) 判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; (2) 现从该城市5 个行政区中随机抽取2 个, 求抽到的2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.
5. 5. 已知曲线Γ 上的点到点F (0, 1) 的距离比它到直线y = −3 的距离小2. (1) 求曲线Γ 的方程; (2) 曲线Γ 在点P 处的切线l 与x 轴交于点A. 直线y = 3 分别与直线l 及y 轴交于点M, N. 以MN 为直径作圆C, 过点A 作圆C 的切线, 切 点为B, 试探究: 当点P 在曲线Γ 上运动(点P 与原点不重合) 时, 线段 AB 的长度是否发生变化? 证明你的结论.
6. 6. 已知函数f (x) = ex −ax (a 为常数) 的图象与y 轴交于点A, 曲线 y = f (x) 在点A 处的切线斜率为−1. (1) 求a 的值及函数f (x) 的极值; (2) 证明: 当x > 0 时, x2 < ex; (3) 证明: 对任意给定的正数c, 总存在x0, 使得当x ∈(x0, +∞) 时, 恒有 x2 < cex. 876

原卷配图（含真实几何/应用题图示）