2014年福建（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年福建（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 复数z = (3 −2i) i 的共轭复数z 等于 ( ) 5分
   A. −2 −3i B. −2 + 3i C. 2 −3i D. 2 + 3i
2. 2. 某空间几何体的正视图是三角形, 则该几何体不可能是 ( ) 5分
   A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱
3. 3. 等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 若a1 = 2, S3 = 12, 则a6 = ( ) 5分
   A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
4. 4. 若函数y = logax (a > 0, 且a̸ = 1) 的图象如图所示, 则下列函数图象正 确的是 ( ) y y = loga x x 3 O 1 (A) y y = a−x x 1 O 3 (B) y y = xa x 1 O 1 (C) y y = (−x)a x 1 O 1 (D) y y = loga(−x) x −3 O −1 5分
5. 5. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的S 的值等于 ( ) 开始 S = 0, n = 1 S = S + 2n + n n = n + 1 S ⩾15? 输出S 结束 是 否 5分
   A. 18 B. 20 C. 21 D. 40
6. 6. 直线l: y = kx + 1 与圆O: x2 + y2 = 1 相交于A, B 两点, 则“k = 1”是 “△OAB 的面积为1 2”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
7. 7. 已知函数f (x) = { x2 + 1, x > 0, cos x, x ⩽0, 则下列结论正确的是 ( ) 5分
   A. f (x) 是偶函数 B. f (x) 是增函数 C. f (x) 是周期函数 D. f (x) 的值域为[−1, +∞)
8. 8. 在下列向量组中, 可以把向量a = (3, 2) 表示出来的是 ( ) 5分
   A. e1 = (0, 0), e2 = (1, 2) B. e1 = (−1, 2), e2 = (5, −2) C. e1 = (3, 5), e2 = (6, 10) D. e1 = (2, −3), e2 = (−2, 3)
9. 9. 设P, Q 分别为圆x2 + (y −6)2 = 2 和椭圆x2 10 + y2 = 1 上的点, 则P, Q 两点间的最大距离是 ( ) √ 2 (B) √ 46 + √ 2 √ 2 √ 2 5分
   A. 5 C. 7 + D. 6
10. 10. 用a 代表红球, b 代表蓝球, c 代表黑球, 由加法原理及乘法原理, 从1 个 红球和1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1 + a) (1 + b) 的展开式 1 + a + b + ab 表示出来, 如: “1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球, 而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来. 以此类推, 下列各式中, 其展开式可 用来表示从5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中 取出若干个球, 且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 ( ) 5分
    A. (1 + a + a2 + a3 + a4 + a5) (1 + b5) (1 + c)5 B. (1 + a5) (1 + b + b2 + b3 + b4 + b5) (1 + c)5 C. (1 + a)5 (1 + b + b2 + b3 + b4 + b5) (1 + c5) D. (1 + a5) (1 + b)5 (1 + c + c2 + c3 + c4 + c5)

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 若变量x, y 满足约束条件        x −y + 1 ⩽0, x + 2y −8 ⩽0, x ⩾0, 则z = 3x + y 的最小值 为 . 5分
2. 2. 在△ABC 中, A = 60◦, AC = 4, BC = 2 √ 3, 则△ABC 的面积等 于 . 5分
3. 3. 要制作一个容积为4 m3, 高为1 m 的无盖长方体容器, 已知该容器的底面 造价是每平方米20 元, 侧面造价是每平方米10 元, 则该容器的最低总造 价是 . (单位: 元) 5分
4. 4. 如图, 在边长为e (e 为自然对数的底数) 的正方形中随机撒一粒黄豆, 则它 落到阴影部分的概率为 . y y = ln x y = ex x e O e 5分
5. 5. 若集合{a, b, c, d} = {1, 2, 3, 4}, 且下列四个关系: ①a = 1; ②b̸ = 1; ③c = 2; ④d̸ = 4, 有且只有一个是正确的, 则符合条件的有序数组 (a, b, c, d) 的个数是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = cos x (sin x + cos x) −1 2. (1) 若0 < α < π 2 , 且sin α = √ 2 2 , 求f (α) 的值; (2) 求函数f (x) 的最小正周期及单调递增区间.
2. 2. 在平面四边形ABCD 中, AB = BD = CD = 1, AB ⊥BD, CD ⊥BD. 将△ABD 沿BD 折起, 使得平面ABD ⊥平面BCD, 如图. (1) 求证: AB ⊥CD; (2) 若M 为AD 中点, 求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值. A B C D M 873
3. 3. 为回馈顾客, 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000 位顾客进行奖励, 规定: 每位顾客从一个装有4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球, 球 上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1) 若袋中所装的4 个球中有1 个所标的面值为50 元, 其余3 个均为10 元, 求: ①顾客所获的奖励额为60 元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2) 商场对奖励总额的预算是60000 元, 并规定袋中的4 个球只能由标有 面值10 元和50 元的两种球组成, 或标有面值20 元和40 元的两种球组 成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的 奖励额相对均衡, 请对袋中的4 个球的面值给出一个合适的设计, 并说明 理由.
4. 4. 已知双曲线E: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两条渐近线分别为l1: y = 2x, l2: y = −2x. (1) 求双曲线E 的离心率; (2) 如图, O 为坐标原点, 动直线l 分别交直线l1, l2 于A, B 两点(A, B 分别在第一, 四象限), 且△OAB 的面积恒为8, 试探究: 是否存在总与直 线l 有且只有一个公共点的双曲线E? 若存在, 求出双曲线E 的方程; 若 不存在, 说明理由. x y O B A l1 l l2
5. 5. 已知函数f (x) = ex −ax (a 为常数) 的图象与y 轴交于点A, 曲线 y = f (x) 在点A 处的切线斜率为−1. (1) 求a 的值及函数f (x) 的极值; (2) 证明: 当x > 0 时, x2 < ex; (3) 证明: 对任意给定的正数c, 总存在x0, 使得当x ∈(x0, +∞) 时, 恒有 x2 < cex.
6. 6. 三选二. 【A】已知矩阵A 的逆矩阵A−1 = ( 2 1 1 2 ) . (1) 求矩阵A; (2) 求矩阵A−1 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【B】已知直线l 的参数方程为 { x = a −2t, y = −4t, (t 为参数), 圆C 的参数方程 为 { x = 4 cos θ, y = 4 sin θ, (θ 为参数). (1) 求直线l 和圆C 的普通方程; (2) 若直线l 与圆C 有公共点, 求实数a 的取值范围. 【C】已知定义在R 上的函数f (x) = |x + 1| + |x −2| 的最小值为a. (1) 求a 的值; (2) 若p, q, r 为正实数, 且p + q + r = a, 求证: p2 + q2 + r2 ⩾3. 874

原卷配图（含真实几何/应用题图示）