2014年辽宁（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年辽宁（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知全集U = R, A = {x | x ⩽0}, B = {x | x ⩾1}, 则集合 ∁U (A ∪B) = ( ) 5分
   A. {x | x ⩾0} B. {x | x ⩽1} C. {x | 0 ⩽x ⩽1} D. {x | 0 < x < 1}
2. 2. 设复数z 满足(z −2i) (2 −i) = 5, 则z = ( ) 5分
   A. 2 + 3i B. 2 −3i C. 3 + 2i D. 3 −2i
3. 3. 已知a = 2−1 3 , b = log2 1 3, c = log 1 2 1 3, 则 ( ) 5分
   A. a > b > c B. a > c > b C. c > a > b D. c > b > a
4. 4. 已知m, n 表示两条不同直线, α 表示平面, 下列说法正确的是 ( ) α, n α, 则m n α α, m ⊥n, 则n ⊥α 5分
   A. 若m B. 若m ⊥α, n ⊂α, 则m ⊥n C. 若m ⊥α, m ⊥n, 则n D. 若m
5. 5. 设a, b, c 是非零向量, 已知命题p: 若a · b = 0, b · c = 0, 则a · c = 0; 命 题q: 若a b, b c, 则a c, 则下列命题中的真命题是 ( ) 5分
   A. p ∨q B. p ∧q C. (¬p) ∧(¬q) D. p ∨(¬q)
6. 6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中, 其中AB = 2, BC = 1, 则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是 ( ) A B C D 2 4 6 8 5分
   A. π B. π C. π D. π
7. 7. 某几何体三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 2 主视图 俯视图 左视图 4 2 5分
   A. 8 −π B. 8 −π C. 8 −π D. 8 −2π
8. 8. 已知点A (−2, 3) 在抛物线C: y2 = 2px 的准线上, 记C 的焦点为F, 则 直线AF 的斜率为 ( ) 3 4 2 5分
   A. −4 B. −1 C. −3 D. −1
9. 9. 设等差数列{an} 的公差为d, 若数列{2a1an} 为递减数列, 则 ( ) 5分
   A. d < 0 B. d > 0 C. a1d > 0 D. a1d < 0
10. 10. 已知f (x) 为偶函数, 当x ⩾0 时, f (x) =        cos πx, x ∈ [ 0, 1 2 ] , 2x −1, x ∈ (1 2, +∞ ) , 则 不等式f (x −1) ⩽1 2 的解集为 ( ) (A) [1 4, 2 3 ] ∪ [4 3, 7 4 ] (B) [ −3 4, −1 3 ] ∪ [1 4, 2 3 ] (C) [1 3, 3 4 ] ∪ [4 3, 7 4 ] (D) [ −3 4, −1 3 ] ∪ [1 3, 3 4 ] 5分
11. 11. 将函数y = 3 sin ( 2x + π 3 ) 的图象向右平移π 2 个单位长度, 所得图象对应 的函数 ( ) [ π 12, 7π 12 ] 上单调递减 [ π 12, 7π 12 ] 上单调递增 [ −π 6 , π 3 ] 上单调递减 [ −π 6 , π 3 ] 上单调递增 5分
    A. 在区间 B. 在区间 C. 在区间 D. 在区间
12. 12. 当x ∈[−2, 1] 时, 不等式ax3 −x2 + 4x + 3 ⩾0 恒成立, 则实数a 的取值 范围是 ( ) (B) [ −6, −9 8 ] 5分
    A. [−5, −3] C. [−6, −2] D. [−4, −3]

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 执行如图的程序框图, 若输入n = 3, 则输出T = . 开始 输入n i = 0, S = 0, T = 0 i ⩽n i = i + 1 S = S + i T = T + S 输出T 结束 是 否 5分
2. 2. 已知x, y 满足条件        2x + y −2 ⩾0, x −2y + 4 ⩾0, 3x −y −3 ⩽0, 则目标函数z = 3x + 4y 的最大值 为 . 5分
3. 3. 已知椭圆C: x2 9 + y2 4 = 1, 点M 与C 的焦点不重合, 若M 关于C 的焦点 的对称点分别为A, B, 线段MN 的中点在C 上, 则|AN|+|BN| = . 5分
4. 4. 对于c > 0, 当非零实数a, b 满足4a2 −2ab + b2 −c = 0 且使|2a + b| 最 大时, 1 . 5分
   A. + 2 B. + 4 C. 的最小值为

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且a > c, 已知 # » BA · # » BC = 2, cos B = 1 3, b = 3, 求: (1) a 和c 的值; (2) cos (B −C) 的值.
2. 2. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯, 在全校一年级学生中进行了抽 样调查, 调查结果如下表所示: 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 (1) 根据表中数据, 问是否有95% 的把握认为“南方学生和北方学生在选用 甜品的饮食习惯方面有差异”; (2) 已知在被调查的北方学生中有5 名数学系的学生, 其中2 名喜欢甜品, 现在从这5 名学生中随机抽取3 人, 求至多有1 人喜欢甜品的概率. 附: χ2 = n (n11n22 −n12n21)2 n1+n2+n+1n+2 , P (χ2 ⩾k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 897
3. 3. 如图, △ABC 和△BCD 所在平面互相垂直, 且AB = BC = BD = 2, ∠ABC = ∠DBC = 120◦, E, F, G 分别为AC, DC, AD 的中点. (1) 求证: EF ⊥平面BCG; (2) 求三棱锥D −BCG 的体积. 附: 锥体的体积公式V = 1 3Sh, 其中S 为底面面积, h 为高. A B C D G E F
4. 4. 圆x2 + y2 = 4 的切线与x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个三角形, 当该三 角形面积最小时, 切点为P (如图). (1) 求点P 的坐标; (2) 焦点在x 轴上的椭圆C 过点P, 且与直线l: y = x + √ 3 交于A, B 两点, 若△PAB 的面积为2, 求C 的标准方程. x y O P
5. 5. 已知函数f (x) = π (x −cos x) −2 sin x −2, g (x) = (x −π) √ 1 −sin x 1 + sin x + 2x π −1. (1) 证明: 存在唯一x0 ∈ ( 0, π 2 ) , 使f (x0) = 0; (2) 证明: 存在唯一x1 ∈ (π 2 , π ) , 使g (x1) = 0, 且对(1) 中的x0, 有 x0 + x1 > π.
6. 6. 如图, EP 交圆于E, C 两点, PD 切圆于D, G 为CE 上一点且PG = PD, 连接DG 并延长交圆于点A, 作弦AB 垂直EP, 垂足为F. (1) 求证: AB 为圆的直径; (2) 若AC = BD, 求证: AB = ED. A B C D G E F P
7. 7. 将圆x2 + y2 = 1 上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的2 倍, 得 曲线C. (1) 写出C 的参数方程; (2) 设直线l: 2x + y −2 = 0 与C 的交点为P1, P2, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求过线段P1P2 的中点且与l 垂直的直线 的极坐标方程.
8. 8. 设函数f (x) = 2|x −1| + x −1, g (x) = 16x2 −8x + 1, 记f (x) ⩽1 的解 集为M, g (x) ⩽4 的解集为N. (1) 求M; (2) 当x ∈M ∩N 时, 证明: x2f (x) + x[f (x)]2 ⩽1 4. 898

原卷配图（含真实几何/应用题图示）