2014年辽宁（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年辽宁（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知全集U = R, A = {x | x ⩽0}, B = {x | x ⩾1}, 则集合 ∁U (A ∪B) = ( ) 5分
   A. {x | x ⩾0} B. {x | x ⩽1} C. {x | 0 ⩽x ⩽1} D. {x | 0 < x < 1}
2. 2. 设复数z 满足(z −2i) (2 −i) = 5, 则z = ( ) 5分
   A. 2 + 3i B. 2 −3i C. 3 + 2i D. 3 −2i
3. 3. 已知a = 2−1 3 , b = log2 1 3, c = log 1 2 1 3, 则 ( ) 5分
   A. a > b > c B. a > c > b C. c > a > b D. c > b > a
4. 4. 已知m, n 表示两条不同直线, α 表示平面, 下列说法正确的是 ( ) α, n α, 则m n α α, m ⊥n, 则n ⊥α 5分
   A. 若m B. 若m ⊥α, n ⊂α, 则m ⊥n C. 若m ⊥α, m ⊥n, 则n D. 若m
5. 5. 设a, b, c 是非零向量, 已知命题p: 若a · b = 0, b · c = 0, 则a · c = 0; 命 题q: 若a b, b c, 则a c, 则下列命题中的真命题是 ( ) 5分
   A. p ∨q B. p ∧q C. (¬p) ∧(¬q) D. p ∨(¬q)
6. 6. 6 把椅子摆成一排, 3 人随机就座, 任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) 5分
   A. 144 B. 120 C. 72 D. 24
7. 7. 某几何体三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 2 主视图 俯视图 左视图 2 4 5分
   A. 8 −2π B. 8 −π C. 8 −π D. 8 −π
8. 8. 设等差数列{an} 的公差为d, 若数列{2a1an} 为递减数列, 则 ( ) 5分
   A. d < 0 B. d > 0 C. a1d > 0 D. a1d < 0
9. 9. 将函数y = 3 sin ( 2x + π 3 ) 的图象向右平移π 2 个单位长度, 所得图象对应 的函数 ( ) [ π 12, 7π 12 ] 上单调递减 [ π 12, 7π 12 ] 上单调递增 [ −π 6 , π 3 ] 上单调递减 [ −π 6 , π 3 ] 上单调递增 5分
   A. 在区间 B. 在区间 C. 在区间 D. 在区间
10. 10. 已知点A (−2, 3) 在抛物线C: y2 = 2px 的准线上, 过点A 的直线与C 在 第一象限相切于点B, 记C 的焦点为F, 则直线BF 的斜率为 ( ) 2 3 4 3 5分
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 11. 当x ∈[−2, 1] 时, 不等式ax3 −x2 + 4x + 3 ⩾0 恒成立, 则实数a 的取值 范围是 ( ) (B) [ −6, −9 8 ] 5分
    A. [−5, −3] C. [−6, −2] D. [−4, −3]
12. 12. 已知定义在[0, 1] 上的函数f (x) 满足: ①f (0) = f (1) = 0; ②对所有x, y ∈[0, 1], 且x̸ = y, 有|f (x) −f (y)| < 1 2 |x −y|. 若对所有x, y ∈[0, 1], |f (x) −f (y)| < k 恒成立, 则k 的最小值为 ( ) 2 4 2π 8 5分
    A. 1 B. 1 C. 1 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 执行如图的程序框图, 若输入x = 9, 则输出y = . 开始 输入x y = x 3 + 2 |y −x| < 1 x = y 输出y 结束 是 否 5分
2. 2. 正方形的四个顶点A (−1, −1), B (1, −1), C (1, 1), D (−1, 1) 分别在抛物线 y = −x2 和y = x2 上, 如图所示, 若将一个质点随机投入正方形ABCD 中, 则质点落在阴影区域的概率是 . x y −1 −1 1 1 A B C D y = x2 y = −x2 5分
3. 3. 已知椭圆C: x2 9 + y2 4 = 1, 点M 与C 的焦点不重合, 若M 关于C 的焦点 的对称点分别为A, B, 线段MN 的中点在C 上, 则|AN|+|BN| = . 5分
4. 4. 对于c > 0, 当非零实数a, b 满足4a2 −2ab + 4b2 −c = 0 且使|2a + b| 最 大时, 3 . 5分
   A. −4 B. + 5 C. 的最小值为

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且a > c, 已知 # » BA · # » BC = 2, cos B = 1 3, b = 3, 求: (1) a 和c 的值; (2) cos (B −C) 的值.
2. 2. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录, 绘制了日销售量的频率分布直 方图, 如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率, 并假设每天的销售 量相互独立. 频率 组距 0 日销售量/个 50 100 150 200 250 0.003 0.005 0.006 0.004 0.002 (1) 求在未来连续3 天里, 有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另1 天的日销售量低于50 个的概率; (2) 用X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数, 求随机变量X 的分布列, 期望E (X) 及方差D (X). 895
3. 3. 如图, △ABC 和△BCD 所在平面互相垂直, 且AB = BC = BD = 2, ∠ABC = ∠DBC = 120◦, E, F 分别为AC, DC 的中点. (1) 求证: EF ⊥BC; (2) 求二面角E −BF −C 的正弦值 A B C D E F
4. 4. 圆x2 + y2 = 4 的切线与x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个三角形, 当该三 角形面积最小时, 切点为P (如图). 双曲线C1: x2 a2 −y2 b2 = 1 过点P 且离 心率为 √ 3. (1) 求C1 的方程; (2) 椭圆C2 过点P 且与C1 有相同的焦点, 直线l 过C2 的右焦点且与C2 交于A, B 两点, 若以线段AB 为直径的圆过点P, 求l 的方程. x y O P
5. 5. 已知函数f(x) = (cos x −x)(π + 2x)−8 3(sin x + 1), g(x) = 3(x−π) cos x− 4(1 + sin x) ln ( 3 −2x π ) . (1) 证明: 存在唯一x0 ∈ ( 0, π 2 ) , 使f (x0) = 0; (2) 证明: 存在唯一x1 ∈ (π 2 , π ) , 使g (x1) = 0, 且对(1) 中的x0, 有 x0 + x1 < π.
6. 6. 如图, EP 交圆于E, C 两点, PD 切圆于D, G 为CE 上一点且PG = PD, 连接DG 并延长交圆于点A, 作弦AB 垂直EP, 垂足为F. (1) 求证: AB 为圆的直径; (2) 若AC = BD, 求证: AB = ED. A B C D G E F P
7. 7. 将圆x2 + y2 = 1 上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的2 倍, 得 曲线C. (1) 写出C 的参数方程; (2) 设直线l: 2x + y −2 = 0 与C 的交点为P1, P2, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求过线段P1P2 的中点且与l 垂直的直线 的极坐标方程.
8. 8. 设函数f (x) = 2|x −1| + x −1, g (x) = 16x2 −8x + 1, 记f (x) ⩽1 的解 集为M, g (x) ⩽4 的解集为N. (1) 求M; (2) 当x ∈M ∩N 时, 证明: x2f (x) + x[f (x)]2 ⩽1 4. 896

原卷配图（含真实几何/应用题图示）