2014年重庆（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年重庆（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 实部为−2, 虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 在等差数列{an} 中, a1 = 2, a3 + a5 = 10, 则a7 = ( ) 5分
   A. 5 B. 8 C. 10 D. 14
3. 3. 某中学有高中生3500 人, 初中生1500 人, 为了解学生的学习情况, 用分层 抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本, 已知从高中生中抽取 70 人, 则n 为 ( ) 5分
   A. 100 B. 150 C. 200 D. 250
4. 4. 下列函数为偶函数的是 ( ) 5分
   A. f (x) = x −1 B. f (x) = x2 + x C. f (x) = 2x −2−x D. f (x) = 2x + 2−x
5. 5. 执行如图所示的程序框图, 则输出s 的值为 ( ) 开始 k = 2, s = 0 k < 10 s = s + k k = 2k −1 输出k 结束 否 是 5分
   A. 10 B. 17 C. 19 D. 36
6. 6. 已知命题p: 对任意x ∈R, 总有|x| ⩾0; q: x = 1 是方程x + 2 = 0 的根, 则下列命题为真命题的是 ( ) 5分
   A. p ∧¬q B. ¬p ∧q C. ¬p ∧¬q D. p ∧q
7. 7. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ) 4 3 2 5 正视图 俯视图 左视图 5分
   A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
8. 8. 设F1, F2 分别为双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点, 双曲 线上存在一点P 使得(|PF1| −|PF2|)2 = b2 −3ab, 则该双曲线的离心率 为 ( ) (A) √ 2 (B) √ 15 (D) √ 17 5分
   C. 4
9. 9. 若log4 (3a + 4b) = log2 √ ab, 则a + b 的的最小值是 ( ) √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 5分
   A. 6 + 2 B. 7 + 2 C. 6 + 4 D. 7 + 4
10. 10. 已知函数f (x) =    1 x + 1 −3, x ∈(−1, 0] , x, x ∈(0, 1] , 且g (x) = f (x) −mx −m 在(−1, 1] 内有且仅有两个不同的零点, 则实数m 的取值范围是 ( ) (A) ( −9 4, −2 ] ∪ ( 0, 1 2 ] (B) ( −11 4 , −2 ] ∪ ( 0, 1 2 ] (C) ( −9 4, −2 ] ∪ ( 0, 2 3 ] (D) ( −11 4 , −2 ] ∪ ( 0, 2 3 ] 5分

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知集合A = {3, 4, 5, 12, 13}, B = {2, 3, 5, 8, 13}, 则A∩B = . 5分
2. 2. 已知向量a 与b 的夹角为60◦, 且a = (−2, −6), |b| = √ 10, 则 . 5分
   A. · b =
3. 3. 将函数f (x) = sin (ωx + φ) ( ω > 0, −π 2 ⩽φ < π 2 ) 图象上每一点的 横坐标缩短为原来的一半, 纵坐标不变, 再向右平移π 6 个单位长度得到 y = sin x 的图象, 则f (π 6 ) = . 5分
4. 4. 已知直线x −y + a = 0 与圆心为C 的圆x2 + y2 + 2x −4y −4 = 0 相交 于A, B 两点, 且AC ⊥BC, 则实数a 的值为 . 5分
5. 5. 某校早上8 : 00 上课, 假设该校学生小张与小王在早上7 : 30 −7 : 50 之间 到校, 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的, 则小张比小王至少 早5 分钟到校的概率为 . (用数字作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知{an} 是首项为1, 公差为2 的等差数列, Sn 表示{an} 的前n 项和. (1) 求an 及Sn; (2) 设{bn} 是首项为2 的等比数列, 公比q 满足q2 −(a4 + 1) q + S4 = 0, 求{bn} 的通项公式及其前n 项和Tn.
2. 2. 20 名学生某次数学考试成绩(单位: 分) 的频率分布直方图如图. 频率 组距 0 成绩(分) 50 60 70 80 90 100 2a 3a 6a 7a (1) 求频率分布直方图中a 的值; (2) 分别求出成绩落在[50, 60) 与[60, 70) 中的学生人数; (3) 从成绩在[50, 70) 的学生中任选2 人, 求此2 人的成绩都在[60, 70) 中 的概率.
3. 3. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 且a + b + c = 8. (1) 若a = 2, b = 5 2, 求cos C 的值; (2) 若sin A cos2 B 2 +sin B cos2 A 2 = 2 sin C, 且△ABC 的面积S = 9 2 sin C, 求a 和b 的值. 867
4. 4. 已知函数f (x) = x 4 + a x −ln x −3 2, 其中a ∈R, 且曲线y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于y = 1 2x. (1) 求a 的值; (2) 求函数f (x) 的单调区间和极值.
5. 5. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面是以O 为中心的菱形, PO ⊥底面 ABCD, AB = 2, ∠BAD = π 3 , M 为BC 上一点, 且BM = 1 2. (1) 证明: BC ⊥平面POM; (2) 若MP ⊥AP, 求四棱锥P −ABMO 的体积. A M B C D O P
6. 6. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 点D 在椭 圆上, DF1 ⊥F1F2, |F1F2| |DF1| = 2 √ 2, △DF1F2 的面积为 √ 2 2 . (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 是否存在圆心在y 轴上的圆, 使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点, 且 圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点? 若存在, 求 出圆的方程; 若不存在, 请说明理由. x y O F1 F2 D 868

原卷配图（含真实几何/应用题图示）