2014年重庆（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年重庆（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 在复平面内表示复数i (1 −2i) 的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 对任意等比数列{an}, 下列说法一定正确的是 ( ) 5分
   A. a1, a3, a9 成等比数列 B. a2, a3, a6 成等比数列 C. a2, a4, a8 成等比数列 D. a3, a6, a9 成等比数列
3. 3. 已知变量x 与y 正相关, 且由观测数据算得样本平均数¯x = 3, ¯y = 3.5, 则 由该观测数据算得的线性回归方程可能是 ( ) 5分
   A. by = 0.4x + 2.3 B. by = 2x −2.4 C. by = −2x + 9.5 D. by = −0.3x + 4.4
4. 4. 已知向量a = (k, 3), b = (1, 4), c = (2, 1), 且(2a −3b) ⊥c, 则实数 k = ( ) 2 2 5分
   A. −9 B. 0 C. 3 D. 15
5. 5. 执行如图所示的程序框图, 若输出k 的值为6, 则判断框内可填入的条件 是 ( ) 开始 k = 9, s = 1 s = s · k k + 1 k = k −1 输出k 结束 否 是 2 5 10 5 5分
   A. s > 1 B. s > 3 C. s > 7 D. s > 4
6. 6. 已知命题p: 对任意x ∈R, 总有2x > 0; q: “x > 1”是“x > 2”的充分不必 要条件. 则下列命题为真命题的是 ( ) 5分
   A. p ∧q B. ¬p ∧¬q C. ¬p ∧q D. p ∧¬q
7. 7. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 ( ) 4 3 2 5 正视图 俯视图 左视图 5分
   A. 54 B. 60 C. 66 D. 72
8. 8. 设F1, F2 分别为双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点, 双曲 线上存在一点P 使得|PF1| + |PF2| = 3b, |PF1| · |PF2| = 9 4ab, 则该双曲 线的离心率为 ( ) 3 3 4 5分
   A. 4 B. 5 C. 9 D. 3
9. 9. 某次联欢会要安排3 个歌舞类节目, 2 个小品类节目和1 个相声类节目的 演出顺序, 则同类节目不相邻的排法种数是 ( ) 5分
   A. 72 B. 120 C. 144 D. 168
10. 10. 已知△ABC 的内角A, B, C 满足sin 2A + sin (A −B + C) = sin (C −A −B) + 1 2, 面积S 满足1 ⩽S ⩽2, 记a, b, c 分别为A, B, ( ) √ 2 5分
    C. 所对的边, 则下列不等式一定成立的是 A. bc (b + c) > 8 B. ab (a + b) > 16 C. 6 ⩽abc ⩽12 D. 12 ⩽abc ⩽24

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 设全集U = {n ∈N | 1 ⩽n ⩽10}, A = {1, 2, 3, 5, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9}, 则 ( ∁UA ) ∩B = . 5分
2. 2. 函数f (x) = log2 √x · log√ 2 (2x) 的最小值为 . 5分
3. 3. 已知直线ax + y −2 = 0 与圆心为C 的圆(x −1)2 + (y −a)2 = 4 相交于 A, B 两点, 且△ABC 为等边三角形, 则实数a = . 5分
4. 4. 过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点), 再作割线PBC 依次交圆于 B, C, 若PA = 6, AC = 8, BC = 9, 则AB = . 5分
5. 5. 已知直线l 的参数方程为 { x = 2 + t, y = 3 + t, (t 为参数), 以坐标原点为极点, x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ−4 cos θ = 0 (ρ ⩾0, 0 ⩽θ < 2π), 则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ = . 5分
6. 6. 若不等式|2x −1| + |x + 2| ⩾a2 + 1 2a + 2 对任意实数x 恒成立, 则实数a 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = √ 3 sin (ωx + φ) ( ω > 0, −π 2 ⩽φ < π 2 ) 的图象关于直 线x = π 3 对称, 且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1) 求ω 和φ 的值; (2) 若f (α 2 ) = √ 3 4 (π 6 < α < 2π 3 ) , 求cos ( α + 3π 2 ) 的值.
2. 2. 一盒中装有9 张各写有一个数字的卡片, 其中4 张卡片上的数字是1, 3 张 卡片上的数字是2, 2 张卡片上的数字是3, 从盒中任取3 张卡片. (1) 求所取3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2) X 表示所取3 张卡片上的数字的中位数, 求X 的分布列与数学期望. (注: 若三个数a, b, c 满足a ⩽b ⩽c, 则称b 为这三个数的中位数)
3. 3. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, 底面是以O 为中心的菱形, PO ⊥底面 ABCD, AB = 2, ∠BAD = π 3 , M 为BC 上一点, 且BM = 1 2, MP ⊥AP. (1) 求PO 的长; (2) 求二面角A −PM −C 的正弦值. A M B C D O P • 865
4. 4. 已知函数f (x) = ae2x −be−2x −cx (a, b, c ∈R) 的导函数f ′ (x) 为偶函 数, 且曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线的斜率为4 −c. (1) 确定a, b 的值; (2) 若c = 3, 判断f (x) 的单调性; (3) 若f (x) 有极值, 求c 的取值范围.
5. 5. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 点D 在椭 圆上, DF1 ⊥F1F2, |F1F2| |DF1| = 2 √ 2, △DF1F2 的面积为 √ 2 2 . (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点, 且圆在这两个 交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点, 求圆的半径. x y O F1 F2 D
6. 6. 设a1 = 1, an+1 = √ a2 n −2an + 2 + b (n ∈N∗). (1) 若b = 1, 求a2, a3 及数列{an} 的通项公式; (2) 若b = −1, 问: 是否存在实数c, 使得a2n < c < a2n+1 对所有n ∈N∗ 成立? 证明你的结论. 866

原卷配图（含真实几何/应用题图示）