2014年陕西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年陕西（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合M = {x | x ⩾0, x ∈R}, N = {x | x2 < 1, x ∈R}, 则M ∩ N = ( ) 5分
   A. [0, 1] B. (0, 1) C. (0, 1] D. [0, 1)
2. 2. 函数f (x) = cos ( 2x + π 4 ) 的最小正周期是 ( ) 2 5分
   A. π B. π C. 2π D. 4π
3. 3. 已知复数z = 2 −i, 则z · z 的值为 ( ) (B) √ 5 (D) √ 3 5分
   A. 5 C. 3
4. 4. 根据如图所示的框图, 对大于2 的整数N, 输出的数列的通项公式是( ) 开始 输入N S = 1, i = 1 ai = 2 ∗S S = ai i = i + 1 i > N 输出a1, a2, · · · , aN 结束 是 否 5分
   A. an = 2n B. an = 2 (n −1)(C) an = 2n D. an = 2n−1
5. 5. 将边长为1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周, 所得几何体的 侧面积为 ( ) 5分
   A. 4π B. 3π C. 2π D. π
6. 6. 从正方形四个顶点及其中心这5 个点中, 任取2 个点, 则这2 个点的距离 不小于该正方形边长的概率为 ( ) 5 5 5 5 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 7. 下列函数中, 满足“f (x + y) = f (x) f (y)”的单调递增函数是 ( ) 1 2 (1 2 )x 5分
   A. f (x) = x B. f (x) = x3 C. f (x) = D. f (x) = 3x
8. 8. 原命题为“若an + an+1 2 < an, n ∈N+, 则{an} 为递减数列”, 关于逆命题, 否命题, 逆否命题真假性的判断依次如下, 正确的是 ( ) 5分
   A. 真, 真, 真 B. 假, 假, 真 C. 真, 真, 假 D. 假, 假, 假
9. 9. 某公司10 位员工的月工资(单位: 元) 为x1, x2, · · · , x10, 其均值和方差分 别为x 和s2, 若从下月起每位员工的月工资增加100 元, 则这10 位员工 下月工资的均值和方差分别为 ( ) 5分
   A. x, s2 + 1002 B. x + 100, s2 + 1002 C. x, s2 D. x + 100, s2
10. 10. 如图, 修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切), 已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分, 则该函数的解析式为( ) x (千米) 湖面 y (千米) O 2 y = −x y = 3x −6 2x3 −1 2x2 −x 2x3 + 1 2x2 −3x 4x3 −x 4x3 + 1 2x2 −2x 5分
    A. y = 1 B. y = 1 C. y = 1 D. y = 1

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 抛物线y2 = 4x 的准线方程为 . 5分
2. 2. 已知4a = 2, lg x = a, 则x = . 5分
3. 3. 设0 < θ < π 2 , 向量a = (sin 2θ, cos θ), b = (1, −cos θ), 若a · b = 0, 则 tan θ = . 5分
4. 4. 已知f (x) = x 1 + x, x ⩾0, 若f1 (x) = f (x), fn+1 (x) = f (fn (x)), n ∈N+, 则f2014 (x) 的表达式为 . 5分
5. 5. 三选一. 【A】设a, b, m, n ∈R, 且a2 + b2 = 5, ma + nb = 5, 则 √ m2 + n2 的最小 值为 . 【B】如图, △ABC 中, BC = 6, 以BC 为直径的半圆分别交AB, AC 于 点E, F, 若AC = 2AE, 则EF = . A B C F E 【C】在极坐标系中, 点 ( 2, π 6 ) 到直线ρ sin ( θ −π 6 ) = 1 的距离是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. (1) 若a, b, c 成等差数列, 证明: sin A + sin C = 2 sin (A + C); (2) 若a, b, c 成等比数列, 且c = 2a, 求cos B 的值.
2. 2. 四面体ABCD 及其三视图如图所示, 过棱AB 的中点E 作平行于AD, BC 的平面分别交四面体的棱BD, DC, CA 于点F, G, H. (1) 求四面体ABCD 的体积; (2) 证明: 四边形EFGH 是矩形. A F E B H C G D 1 2 2 主视图 俯视图 左视图 913
3. 3. 在直角坐标系xOy 中, 已知点A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2), 点P (x, y) 在 △ABC 三边围成的区域(含边界) 上, 且# » OP = m# » AB +n# » AC (m, n ∈R). (1) 若m = n = 2 3, 求 # » OP ; (2) 用x, y 表示m −n, 并求m −n 的最大值.
4. 4. 某保险公司利用简单随机抽样方法, 对投保车辆进行抽样, 样本车辆中每 辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 (1) 若每辆车的投保金额均为2800 元, 估计赔付金额大于投保金额的概率; (2) 在样本车辆中, 车主是新司机的占10%, 在赔付金额为4000 元的样本 车辆中, 车主是新司机的占20%, 估计在已投保车辆中, 新司机获赔金额为 4000 元的概率.
5. 5. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 经过点 ( 0, √ 3 ) , 离心率为1 2, 左右焦点 分别为F1 (−c, 0), F2 (c, 0). (1) 求椭圆的方程; (2) 若直线l: y = −1 2x + m 与椭圆交于A, B 两点, 与以F1F2 为直径的 圆交于C, D 两点, 且满足|AB| |CD| = 5 √ 3 4 , 求直线l 的方程. x y O F1 F2 D C B A
6. 6. 设函数f (x) = ln x + m x , m ∈R. (1) 当m = e (e 为自然对数的底数) 时, 求f (x) 的极小值; (2) 讨论函数g (x) = f ′ (x) −x 3 零点的个数; (3) 若对任意b > a > 0, f (b) −f (a) < 1 恒成立, 求m 的取值范围. 914

原卷配图（含真实几何/应用题图示）