2014年陕西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年陕西（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合M = {x | x ⩾0, x ∈R}, N = {x | x2 < 1, x ∈R}, 则M ∩ N = ( ) 5分
   A. [0, 1] B. [0, 1) C. (0, 1] D. (0, 1)
2. 2. 函数f (x) = cos ( 2x −π 6 ) 的最小正周期是 ( ) 2 5分
   A. π B. π C. 2π D. 4π
3. 3. 定积分 ∫1 0 (2x + ex)dx 的值为 ( ) 5分
   A. e + 2 B. e + 1 C. e D. e −1
4. 4. 根据如图所示的框图, 对大于2 的整数N, 输出的数列的通项公式是( ) 开始 输入N S = 1, i = 1 ai = 2 ∗S S = ai i = i + 1 i > N 输出a1, a2, · · · , aN 结束 是 否 5分
   A. an = 2n B. an = 2 (n −1)(C) an = 2n D. an = 2n−1
5. 5. 已知底面边长为1, 侧棱长为 √ 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的体积为 ( ) 3 3 5分
   A. 32π B. 4π C. 2π D. 4π
6. 6. 从正方形四个顶点及其中心这5 个点中, 任取2 个点, 则这2 个点的距离 不小于该正方形边长的概率为 ( ) 5 5 5 5 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 7. 下列函数中, 满足“f (x + y) = f (x) f (y)”的单调递增函数是 ( ) 1 2 (1 2 )x 5分
   A. f (x) = x B. f (x) = x3 C. f (x) = D. f (x) = 3x
8. 8. 原命题为“若z1, z2 互为共轭复数, 则|z1| = |z2|”, 关于其逆命题, 否命题, 逆否命题真假性的判断依次如下, 正确的是 ( ) 5分
   A. 真, 假, 真 B. 假, 假, 真 C. 真, 真, 假 D. 假, 假, 假
9. 9. 设样本数据x1, x2, · · · , x10 的均值和方差分别为1 和4, 若yi = xi + a 为 ( ) 5分
   A. 为非零常数, i = 1, 2, · · · , 10), 则y1, y2, · · · , y10 的均值和方差分别 A. 1 + a, 4 B. 1 + a, 4 + a C. 1, 4 D. 1, 4 + a
10. 10. 如图, 某飞行器在4 千米高空水平飞行, 从距着陆点A 的水平距离10 千 米处下降, 已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分, 则函数的解析 式为 ( ) x y O −5 5 A 地面跑道 −2 2 1 125x3 −3 5x 2 125x3 −4 5x 3 125x3 −x 125x3 + 1 5x 5分
    A. y = B. y = C. y = D. y = −3

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知4a = 2, lg x = a, 则x = . 5分
2. 2. 若圆C 的半径为1, 其圆心与点(1, 0) 关于直线y = x 对称, 则圆C 的标 准方程为 . 5分
3. 3. 设0 < θ < π 2 , 向量a = (sin 2θ, cos θ), b = (cos θ, 1), 若a b, 则 tan θ = . 5分
4. 4. 观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V ) 棱数(E) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中, F, V , E 所满足的等式是 . 5分
5. 5. 三选一. 【A】设a, b, m, n ∈R, 且a2 + b2 = 5, ma + nb = 5, 则 √ m2 + n2 的最小 值为 . 【B】如图, △ABC 中, BC = 6, 以BC 为直径的半圆分别交AB, AC 于 点E, F, 若AC = 2AE, 则EF = . A B C F E 【C】在极坐标系中, 点 ( 2, π 6 ) 到直线ρ sin ( θ −π 6 ) = 1 的距离是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. (1) 若a, b, c 成等差数列, 证明: sin A + sin C = 2 sin (A + C); (2) 若a, b, c 成等比数列, 求cos B 的最小值.
2. 2. 四面体ABCD 及其三视图如图所示, 过棱AB 的中点E 作平行于AD, BC 的平面分别交四面体的棱BD, DC, CA 于点F, G, H. (1) 证明: 四边形EFGH 是矩形; (2) 求直线AB 与平面EFGH 夹角θ 的正弦值. A F E B H C G D 1 2 2 主视图 俯视图 左视图 911
3. 3. 在直角坐标系xOy 中, 已知点A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2), 点P (x, y) 在 △ABC 三边围成的区域(含边界) 上. (1) 若# » PA + # » PB + # » PC = 0, 求|# » OP|; (2) 设# » OP = m# » AB + n# » AC (m, n ∈R), 用x, y 表示m −n, 并求m −n 的最大值.
4. 4. 在一块耕地上种植一种作物, 每季种植成本为1000 元, 此作物的市场价格 和这块地上的产量均具有随机性, 且互不影响, 其具体情况如下表: 作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (1) 设X 表示在这块地上种植1 季此作物的利润, 求X 的分布列; (2) 若在这块地上连续3 季种植此作物, 求这3 季中至少有2 季的利润不 少于2000 元的概率.
5. 5. 如图, 曲线C 由上半椭圆C1: y2 a2 + x2 b2 = 1 (a > b > 0, y ⩾0) 和部分抛 物线C2: y = −x2 + 1 (y ⩽0) 连接而成, C1, C2 的公共点为A, B, 其中 C1 的离心率为 √ 3 2 . (1) 求a, b 的值; (2) 过点B 的直线l 与C1, C2 分别交于点P, Q (均异于点A, B), 若 AP ⊥AQ, 求直线l 的方程. x y O A B P Q
6. 6. 设函数f (x) = ln (1 + x), g (x) = xf ′ (x), x ⩾0, 其中f ′ (x) 是f (x) 的导 函数. (1) 令g1 (x) = g (x), gn+1 (x) = g (gn (x)), n ∈N+, 求gn (x) 的表达式; (2) 若f (x) ⩾ag (x) 恒成立, 求实数a 的取值范围; (3) 设n ∈N+, 比较g (1) + g (2) + · · · + g (n) 与n −f (n) 的大小, 并加 以证明. 912

原卷配图（含真实几何/应用题图示）