2015年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年上海（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 函数f (x) = 1 −3 sin2 x 的最小正周期为 . 5分
2. 2. 设全集U = R. 若集合A = {1, 2, 3, 4}, B = {x | 2 ⩽x ⩽3}, 则 . 5分
   A. ∩∁UB =
3. 3. 若复数z 满足3z + z = 1 + i, 其中i 为虚数单位, 则z = . 5分
4. 4. 设f −1 (x) 为f (x) = x 2x + 1 的反函数, 则f −1 (2) = . 5分
5. 5. 若线性方程组的增广矩阵为 ( 2 3 c1 0 1 c2 ) 、解为 { x = 3, y = 5, 则c1−c2 = . 5分
6. 6. 若正三棱柱的所有棱长均为a, 且其体积为16 √ 3, 则a = . 5分
7. 7. 抛物线y2 = 2px (p > 0) 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1, 则 p = . 5分
8. 8. 方程log2 (9x−1 −5) = log2 (3x−1 −2) + 2 的解为 . 5分
9. 9. 若x, y 满足        x −y ⩾0, x + y ⩽2, y ⩾0, 则目标函数f = x + 2y 的最大值为 . 5分
10. 10. 在报名的3 名男教师和6 名女教师中, 选取5 人参加义务献血, 要求男、女 教师都有, 则不同的选取方式的种数为 . (结果用数值表示) 5分
11. 11. 在 ( 2x + 1 x2 )6 的二项展开式中, 常数项等于 . (结果用数值表示) 5分
12. 12. 已知双曲线C1, C2 的顶点重合, C1 的方程为x2 4 −y2 = 1, 若C2 的一条 渐近线的斜率是C1 的一条渐近线的斜率的2 倍, 则C2 的方程为 . 5分
13. 13. 已知平面向量a, b, c 满足a ⊥b, 且{|a| , |b| , |c|} = {1, 2, 3}, 则 |a + b + c| 的最大值是 . 5分
14. 14. 已知函数f (x) = sin x. 若存在x1, x2, · · · , xm 满足0 ⩽x1 < x2 < · · · < xm ⩽6π. 且|f (x1) −f (x2)| + |f (x2) −f (x3)| + · · · + |f (xm−1) −f (xm)| = 12 (m ⩾2, m ∈N∗), 则m 的最小值为 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设z1, z2 ∈C, 则“z1, z2 均为实数”是“z1 −z2 是实数”的 ( ) 5分
   A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2. 2. 下列不等式中, 与不等式 x + 8 x2 + 2x + 3 < 2 解集相同的是 ( ) (C) 1 x2 + 2x + 3 < 2 x + 8 x + 8 > 1 2 5分
   A. (x + 8) (x2 + 2x + 3) < 2 B. x + 8 < 2 (x2 + 2x + 3) D. x2 + 2x + 3
3. 3. 已知点A 的坐标为 ( 4 √ 3, 1 ) , 将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π 3 至OB, 则点B 的纵坐标为 ( ) √ 3 2 √ 3 2 2 2 5分
   A. 3 B. 5 C. 11 D. 13
4. 4. 设Pn (xn, yn) 是直线2x −y = n n + 1 (n ∈N∗) 与圆x2 + y2 = 2 在第一 象限的交点, 则极限lim n→∞ yn −1 xn −1 = ( ) 2 5分
   A. −1 B. −1 C. 1 D. 2

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 圆锥的顶点为P, 底面圆心为O, 底面的一条直径为AB, C 为半圆 弧˜ AB 的中点, E 为劣弧¯ CB 的中点, 已知PO = 2, OA = 1, 求三棱锥 P −AOC 的体积, 并求异面直线PA 与OE 所成角的余弦值. A E O P B C
2. 2. 已知函数f (x) = ax2 + 1 x, 其中a 为常数. (1) 根据a 的不同取值, 判断函数f (x) 的奇偶性, 并说明理由; (2) 若a ∈(1, 3), 判断函数f (x) 在[1, 2] 上的单调性, 并说明理由. 979
3. 3. 如图, O, P, Q 三地有直道相通, OP = 3 千米, PQ = 4 千米, OQ = 5 千 米. 现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地, 经过t 小时, 他们 之间的距离为f (t) (单位: 千米). 甲的路线是OQ, 速度为5 千米/小时, 乙的路线是OPQ, 速度为8 千米/小时. 乙到达Q 地后在原地等待. 设 t = t1 时, 乙到达P 地; t = t2 时, 乙到达Q 地. (1) 求t1 与f (t1) 的值; (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米. 当t1 ⩽t ⩽t2 时, 求 O P Q
4. 4. 己知椭圆x2 + 2y2 = 1, 过原点的两条直线l1 和l2 分别与椭圆交于点A, (1) 设A (x1, y1), C (x2, y2). 用A, C 的坐标表示点C 到直线l1 的距离, 并证明S = 1 2|x1y2 −x2y1|; (2) 设l1: y = kx, C (√ 3 3 , √ 3 3 ) , S = 1 3, 求k 的值. (3) 设l1 与l2 的斜率之积为m, 求m 的值, 使得无论l1 与l2 如何变动, 面积S 保持不变.
5. 5. 已知数列{an} 与{bn} 满足an+1 −an = 2 (bn+1 −bn), n ∈N∗. (1) 若bn = 3n + 5, 且a1 = 1, 求{an} 的通项公式; (2) 设{an} 的第n0 项是最大项, 即an0 ⩾an (n ∈N∗), 求证: {bn} 的第 n0 项是最大项; (3) 设a1 = 3λ < 0, bn = λn (n ∈N∗), 求λ 的取值范围, 使得对任意m, n ∈N∗, an̸ = 0, 且am an ∈ (1 6, 6 ) . 980

原卷配图（含真实几何/应用题图示）