2015年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2015年上海（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 设全集U = R. 若集合A = {1, 2, 3, 4}, B = {x | 2 ⩽x ⩽3}, 则 . 5分
   A. ∩∁UB =
2. 2. 若复数z 满足3z + z = 1 + i, 其中i 为虚数单位, 则z = . 5分
3. 3. 若线性方程组的增广矩阵为 ( 2 3 c1 0 1 c2 ) 、解为 { x = 3, y = 5, 则c1−c2 = . 5分
4. 4. 若正三棱柱的所有棱长均为a, 且其体积为16 √ 3, 则a = . 5分
5. 5. 抛物线y2 = 2px (p > 0) 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1, 则 p = . 5分
6. 6. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π, 则其母线与轴的夹角的大小 为 . 5分
7. 7. 方程log2 (9x−1 −5) = log2 (3x−1 −2) + 2 的解为 . 5分
8. 8. 在报名的3 名男教师和6 名女教师中, 选取5 人参加义务献血, 要求男、女 教师都有, 则不同的选取方式的种数为 . (结果用数值表示) 5分
9. 9. 已知点P 和Q 的横坐标相同, P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2 倍, P 和Q 的轨迹分别为双曲线C1 和C2. 若C1 的渐近线方程为y = ± √ 3x, 则C2 的渐近线方程为 . 5分
10. 10. 设f −1 (x) 为f (x) = 2x−2 + x 2, x ∈[0, 2] 的反函数, 则y = f (x) + f −1 (x) 的最大值为 . 5分
11. 11. 在 ( 1 + x + 1 x2015 )10 的展开式中, x2 项的系数为 . (结果用数值表 示) 5分
12. 12. 赌博有陷阱. 某种赌博每局的规则是: 赌客先在标记有1, 2, 3, 4, 5 的卡 片中随机摸取一张, 将卡片上的数字作为其赌金(单位: 元); 随后放回该卡 片, 再随机摸取两张, 将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4 倍作为其奖 金(单位: 元). 若随机变量ξ1 和ξ2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和 奖金, 则Eξ1 −Eξ2 = (元). 5分
13. 13. 已知函数f (x) = sin x. 若存在x1, x2, · · · , xm 满足0 ⩽x1 < x2 < · · · < xm ⩽6π. 且|f (x1) −f (x2)| + |f (x2) −f (x3)| + · · · + |f (xm−1) −f (xm)| = 12 (m ⩾2, m ∈N∗), 则m 的最小值为 . 5分
14. 14. 在锐角三角形ABC 中, tan A = 1 2, D 为边BC 上的点, △ABD 与△ACD 的面积分别为2 和4. 过D 作DE ⊥AB 于E, DF ⊥AC 于F, 则 # » DE · # » DF = . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设z1, z2 ∈C, 则“z1, z2 中至少有一个数是虚数”是“z1 −z2 是虚数”的( ) 5分
   A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2. 2. 已知点A 的坐标为 ( 4 √ 3, 1 ) , 将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π 3 至OB, 则点B 的纵坐标为 ( ) √ 3 2 √ 3 2 2 2 5分
   A. 3 B. 5 C. 11 D. 13
3. 3. 记方程①: x2 + a1x + 1 = 0, 方程②: x2 + a2x + 2 = 0, 方程③: x2 + a3x + 4 = 0, 其中a1, a2, a3 是正实数. 当a1, a2, a3 成等比数列 时, 下列选项中, 能推出方程③无实根的是 ( ) 5分
   A. 方程①有实根, 且②有实根 B. 方程①有实根, 且②无实根 C. 方程①无实根, 且②有实根 D. 方程①无实根, 且②无实根
4. 4. 设Pn (xn, yn) 是直线2x −y = n n + 1 (n ∈N∗) 与圆x2 + y2 = 2 在第一 象限的交点, 则极限lim n→∞ yn −1 xn −1 = ( ) 2 5分
   A. −1 B. −1 C. 1 D. 2

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = 1, AB = AD = 2, E, F 分别是棱AB, BC 的中点. 证明A1, C1, F, E 四点共面, 并求直线CD1 与平面A1C1FE 所成角的正弦值. A B E F C D A1 B1 C1 D1
2. 2. 如图, A, B, C 三地有直道相通, AB = 5 千米, AC = 3 千米, BC = 4 千 米. 现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地, 过t 小时, 他们之间 的距离为f (t) (单位: 千米). 甲的路线是AB, 速度为5 千米/小时, 乙的 路线是ACB, 速度为8 千米/小时. 乙到达B 地后在原地等待. 设t = t1 时, 乙到达C 地. (1) 求t1 与f (t1) 的值; (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米. 当t1 ⩽t ⩽1 时, 求f (t) 的表达式, 并判断f (t) 在[t1, 1] 上的最大值是否超过3? 说明理由. A B C 977
3. 3. 己知椭圆x2 + 2y2 = 1, 过原点的两条直线l1 和l2 分别与椭圆交于点A, (1) 设A (x1, y1), C (x2, y2). 用A, C 的坐标表示点C 到直线l1 的距离, 并证明S = 2|x1y2 −x2y1|; (2) 设l1 与l2 的斜率之积为−1 2, 求面积S 的值.
4. 4. 已知数列{an} 与{bn} 满足an+1 −an = 2 (bn+1 −bn), n ∈N∗. (1) 若bn = 3n + 5, 且a1 = 1, 求{an} 的通项公式; (2) 设{an} 的第n0 项是最大项, 即an0 ⩾an (n ∈N∗). 求证: {bn} 的第 n0 项是最大项; (3) 设a1 = λ < 0, bn = λn (n ∈N∗). 求λ 的取值范围, 使得{an} 有最大 值M 与最小值m, 且M m ∈(−2, 2).
5. 5. 对于定义域为R 的函数g (x), 若存在正常数T, 使得cos g (x) 是以T 为周期的函数, 则称g (x) 为余弦周期函数, 且称T 为其余弦周期. 已知 增, f (0) = 0, f (T) = 4π. (1) 验证h (x) = x + sin x 3 是以6π 为余弦周期的余弦周期函数; (2) 设a < b, 证明对任意c ∈[f (a) , f (b)], 存在x0 ∈[a, b], 使得f (x0) = c; (3) 证明: “u0 为方程cos f (x) = 1 在[0, T] 上的解”的充要条件是“u0 + T 为方程cos f (x) = 1 在[T, 2T] 上的解”, 并证明对任意x ∈[0, T] 都有 978

原卷配图（含真实几何/应用题图示）