2015年全国1（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年全国1（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {x | x = 3n + 2, n ∈N}, B = {6, 8, 10, 12, 14}, 则集合 ( ) 5分
   A. ∩B 中的元素个数为 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2. 2. 已知点A (0, 1), B (3, 2), 向量# » AC = (−4, −3), 则向量# » BC = ( ) 5分
   A. (−7, −4) B. (7, 4) C. (−1, 4) D. (1, 4)
3. 3. 已知复数z 满足(z −1) i = 1 + i, 则z = ( ) 5分
   A. −2 −i B. −2 + i C. 2 −i D. 2 + i
4. 4. 如果3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长, 则称这3 个数为一 组勾股数, 从1, 2, 3, 4, 5 中任取3 个不同的数, 则这3 个数构成一组勾股 数的概率为 ( ) 10 5 10 20 5分
   A. 3 B. 1 C. 1 D. 1
5. 5. 已知椭圆E 的中心为坐标原点, 离心率为1 2, E 的右焦点与抛物线C: y2 = 8x 的焦点重合, A, B 是C 的准线与E 的两个交点, 则|AB| = ( ) 5分
   A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
6. 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今有 委米依垣内角, 下周八尺, 高五尺. 问: 积及为米几何? ”其意思为: “在屋 内墙角处堆放米(如图, 米堆为一个圆锥的四分之一), 米堆底部的弧长为8 尺, 米堆的高为5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少? ”已知1 斛米的 体积约为1.62 立方尺, 圆周率约为3, 估算出堆放的米约有 ( ) 5分
   A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D. 66 斛
7. 7. 已知{an} 是公差为1 的等差数列, Sn 为{an} 的前n 项和, 若S8 = 4S4, 则a10 = ( ) 2 2 5分
   A. 17 B. 19 C. 10 D. 12
8. 8. 函数f (x) = cos (ωx + φ) 的部分图象如图所示, 则f (x) 的单调递减区间 为 ( ) x 1 4 5 4 y 1 O (A) ( kπ −1 4, kπ + 3 4 ) , k ∈Z (B) ( 2kπ −1 4, 2kπ + 3 4 ) , k ∈Z (C) ( k −1 4, k + 3 4 ) , k ∈Z (D) ( 2k −1 4, 2k + 3 4 ) , k ∈Z 5分
9. 9. 执行如图的程序框图, 如果输入的t = 0.01, 则输出的n = ( ) 开始 输入t S = 1, n = 0, m = 1 2 S = S −m m = m 2 , n = n + 1 S > t 输出n 结束 否 是 5分
   A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 10. 已知函数f (x) = { 2x−1 −2, x ⩽1, −log2 (x + 1) , x > 1, 且f (a) = −3, 则 ( ) 4 4 4 4 5分
    F. (6 −a) = A. −7 B. −5 C. −3 D. −1
11. 11. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r) 组成一个几何体, 该几何 体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为16 + 20π, 则r = ( ) 正视图 2r r 俯视图 r 2r 5分
    A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
12. 12. 设函数y = f (x) 的图象与y = 2x+a 的图象关于直线y = −x 对称, 且 ( ) 5分
    F. (−2) + f (−4) = 1, 则a = A. −1 B. 1 C. 2 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 数列{an} 中a1 = 2, an+1 = 2an, Sn 为{an} 的前n 项和, 若Sn = 126, 则n = . 5分
2. 2. 已知函数f (x) = ax3 + x + 1 的图象在点(1, f (1)) 处的切线过点(2, 7), 则a = . 5分
3. 3. 若x, y 满足约束条件        x + y −2 ⩽0, x −2y + 1 ⩽0, 2x −y + 2 ⩾0, 则z = 3x + y 的最大值为 . 5分
4. 4. 已知F 是双曲线C: x2−y2 8 = 1 的右焦点, P 是C 左支上一点, A ( 0, 6 √ 6 ) , 当△APF 周长最小时, 该三角形的面积为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 已知a, b, c 分别是△ABC 内角A, B, C 的对边, sin2 B = 2 sin A sin C. (1) 若a = b, 求cos B; (2) 若B = 90◦, 且a = √ 2, 求△ABC 的面积.
2. 2. 如图, 四边形ABCD 为菱形, G 为AC 与BD 的交点, BE ⊥平面ABCD. (1) 证明: 平面AEC ⊥平面BED; (2) 若∠ABC = 120◦, AE ⊥EC, 三棱锥E −ACD 的体积为 √ 6 3 , 求该 三棱锥的侧面积. B C D E G A 963
3. 3. 某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费, 需了解年宣传费x (单位: 千 元) 对年销售量y (单位: t) 和年利润z (单位: 千元) 的影响. 对近8 年的 年宣传费xi 和年销售量yi (i = 1, 2, · · · , 8) 数据作了初步处理, 得到下 面的散点图及一些统计量的值. 年宣传费/千元 年销售量/t 34 480 500 520 540 560 580 600 620 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 x y w 8∑ i=1 (xi −x)2 8∑ i=1 (wi −w)2 46.6 563 6.8 289.8 1.6 8∑ i=1 (xi −x) (yi −y) 8∑ i=1 (wi −w) (yi −y) 1.469 108.8 表中wi = √xi, w = 1 8 8∑ i=1 wi. (1) 根据散点图判断, y = a + bx 与y = c + d√x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费x 的回归方程类型? (给出判断即可, 不必说明理由) (2) 根据(1) 的判断结果及表中数据, 建立y 关于x 的回归方程; (3) 已知这种产品的年利润z 与x, y 的关系为z = 0.2y −x. 根据(2) 的 结果回答下列问题: ①年宣传费x = 49 时, 年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时, 年利润的预报值最大? 附: 对于一组数据(u1, v1), (u2, v2), · · · , (un, vn), 其回归直线v = α+βu 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆβ = n∑ i=1 (ui −¯u) (vi −¯v) n∑ i=1 (ui −¯u)2 , ˆα = ¯v −ˆβ¯u.
4. 4. 已知过点A (0, 1) 且斜率为k 的直线l 与圆C: (x −2)2 + (y −3)2 = 1 交 于M, N 两点. (1) 求k 的取值范围; (2) 若# » OM · # » ON = 12, 其中O 为坐标原点, 求|MN|.
5. 5. 设函数f (x) = e2x −a ln x. (1) 讨论f (x) 的导函数f ′ (x) 的零点的个数; (2) 证明: 当a > 0 时, f (x) ⩾2a + a ln 2 a.
6. 6. 如图, AB 是⊙O 的直径, AC 是⊙O 的切线, BC 交⊙O 于点E. (1) 若D 为AC 的中点, 证明: DE 是⊙O 的切线; (2) 若OA = √ 3CE, 求∠ACB 的大小. B C D E O A •
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 直线C1: x = −2, 圆C2: (x −1)2 + (y −2)2 = 1, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求C1, C2 的极坐标方程; (2) 若直线C3 的极坐标方程为θ = π 4 (ρ ∈R), 设C2 与C3 的交点为M, N, 求△C2MN 的面积.
8. 8. 已知函数f (x) = |x + 1| −2|x −a|, a > 0. (1) 当a = 1 时, 求不等式f (x) > 1 的解集; (2) 若f (x) 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6, 求a 的取值范围. 964

原卷配图（含真实几何/应用题图示）