本卷为官方高考数学真题（2015年全国1（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 设复数z 满足1 + z
1 −z = i, 则|z| =
(
)
(B)
√
2
(C)
√
3 5分
A. 1
D. 2
-
2. sin 20◦cos 10◦−cos 160◦sin 10◦=
(
)
√
3
2
(B)
√
3
2
2
2 5分
A. −
C. −1
D. 1
-
3. 设命题p: ∃n ∈N, n2 > 2n, 则¬p 为
(
) 5分
A. ∀n ∈N, n2 > 2n
B. ∃n ∈N, n2 ⩽2n
C. ∀n ∈N, n2 ⩽2n
D. ∃n ∈N, n2 = 2n
-
4. 投篮测试中, 每人投3 次, 至少投中2 次才能通过测试. 已知某同学每次投
篮投中的概率为0.6, 且各次投篮是否投中相互独立, 则该同学通过测试的
概率为
(
) 5分
A. 0.648
B. 0.432
C. 0.36
D. 0.312
-
5. 已知M (x0, y0) 是双曲线C: x2
2 −y2 = 1 上的一点, F1, F2 是C 的两个
焦点. 若# »
MF1 · # »
MF2 < 0, 则y0 的取值范围是
(
)
(A)
(
−
√
3
3 ,
√
3
3
)
(B)
(
−
√
3
6 ,
√
3
6
)
(C)
(
−2
√
2
3 , 2
√
2
3
)
(D)
(
−2
√
3
3 , 2
√
3
3
) 5分
-
6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今有
委米依垣内角, 下周八尺, 高五尺. 问: 积及为米几何? ”其意思为: “在屋
内墙角处堆放米(如图, 米堆为一个圆锥的四分之一), 米堆底部的弧长为8
尺, 米堆的高为5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少? ”已知1 斛米的
体积约为1.62 立方尺, 圆周率约为3, 估算出堆放的米约有
(
) 5分
A. 14 斛
B. 22 斛
C. 36 斛
D. 66 斛
-
7. 设D 为△ABC 所在平面内一点, # »
BC = 3# »
CD, 则
(
)
AD = −1
3
# »
AB + 4
3
# »
AC
AD = 1
3
# »
AB −4
3
# »
AC
AD = 4
3
# »
AB + 1
3
# »
AC
AD = 4
3
# »
AB −1
3
# »
AC 5分
A. # »
B. # »
C. # »
D. # »
-
8. 函数f (x) = cos (ωx + φ) 的部分图象如图所示, 则f (x) 的单调递减区间
为
(
)
x
1
4
5
4
y
1
O
(A)
(
kπ −1
4, kπ + 3
4
)
, k ∈Z
(B)
(
2kπ −1
4, 2kπ + 3
4
)
, k ∈Z
(C)
(
k −1
4, k + 3
4
)
, k ∈Z
(D)
(
2k −1
4, 2k + 3
4
)
, k ∈Z 5分
-
9. 执行如图的程序框图, 如果输入的t = 0.01, 则输出的n =
(
)
开始
输入t
S = 1, n = 0, m = 1
2
S = S −m
m = m
2 , n = n + 1
S > t
输出n
结束
否
是 5分
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
-
10. (x2 + x + y)
5 的展开式中, x5y2 的系数为
(
) 5分
A. 10
B. 20
C. 30
D. 60
-
11. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r) 组成一个几何体, 该几何
体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为16 + 20π,
则r =
(
)
正视图
2r
r
俯视图
r
2r 5分
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
-
12. 设函数f (x) = ex (2x −1) −ax + a, 其中a < 1, 若存在唯一的整数x0 使
得f (x0) < 0, 则a 的取值范围是
(
)
(A)
[
−3
2e, 1
)
(B)
[
−3
2e, 3
4
)
(C)
[ 3
2e, 3
4
)
(D)
[ 3
2e, 1
) 5分
-
1. Sn 为数列{an} 的前n 项和, 已知an > 0, a2
n + 2an = 4Sn + 3.
(1) 求{an} 的通项公式;
(2) 设bn =
1
anan+1
, 求数列{bn} 的前n 项和.
-
2. 如图, 四边形ABCD 为菱形, ∠ABC = 120◦, E, F 是平面ABCD 同一侧
的两点, BE ⊥平面ABCD, DF ⊥平面ABCD, BE = 2DF, AE ⊥EC.
(1) 证明: 平面AEC ⊥平面AFC;
(2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
B
C
D
E
F
A
961
-
3. 某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费, 需了解年宣传费x (单位: 千
元) 对年销售量y (单位: t) 和年利润z (单位: 千元) 的影响. 对近8 年的
年宣传费xi 和年销售量yi (i = 1, 2, · · · , 8) 数据作了初步处理, 得到下
面的散点图及一些统计量的值.
年宣传费/千元
年销售量/t
34
480
500
520
540
560
580
600
620
36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56
x
y
w
8∑
i=1
(xi −x)2
8∑
i=1
(wi −w)2
46.6
563
6.8
289.8
1.6
8∑
i=1
(xi −x) (yi −y)
8∑
i=1
(wi −w) (yi −y)
1.469
108.8
表中wi = √xi, w = 1
8
8∑
i=1
wi.
(1) 根据散点图判断, y = a + bx 与y = c + d√x 哪一个适宜作为年销售量
y 关于年宣传费x 的回归方程类型? (给出判断即可, 不必说明理由)
(2) 根据(1) 的判断结果及表中数据, 建立y 关于x 的回归方程;
(3) 已知这种产品的年利润z 与x, y 的关系为z = 0.2y −x. 根据(2) 的
结果回答下列问题:
①年宣传费x = 49 时, 年销售量及年利润的预报值是多少?
②年宣传费x 为何值时, 年利润的预报值最大?
附: 对于一组数据(u1, v1), (u2, v2), · · · , (un, vn), 其回归直线v = α+βu 的
斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆβ =
n∑
i=1
(ui −¯u) (vi −¯v)
n∑
i=1
(ui −¯u)2
, ˆα = ¯v −ˆβ¯u.
-
4. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C: y = x2
4 与直线l: y = kx + a (a > 0) 交
于M, N 两点.
(1) 当k = 0 时, 分别求C 在点M 和N 处的切线方程;
(2) y 轴上是否存在点P, 使得当k 变动时, 总有∠OPM = ∠OPN? 说明
理由.
-
5. 已知函数f (x) = x3 + ax + 1
4, g (x) = −ln x.
(1) 当a 为何值时, x 轴为曲线y = f (x) 的切线;
(2)
用
min {m, n}
表示
m,
n
中的最小值,
设函数
=
min {f (x) , g (x)} (x > 0), 讨论h (x) 零点的个数.
-
6. 如图, AB 是⊙O 的直径, AC 是⊙O 的切线, BC 交⊙O 于点E.
(1) 若D 为AC 的中点, 证明: DE 是⊙O 的切线;
(2) 若OA =
√
3CE, 求∠ACB 的大小.
B
C
D
E
O
A
•
-
7. 在直角坐标系xOy 中, 直线C1: x = −2, 圆C2: (x −1)2 + (y −2)2 = 1,
以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 求C1, C2 的极坐标方程;
(2) 若直线C3 的极坐标方程为θ = π
4 (ρ ∈R), 设C2 与C3 的交点为M,
N, 求△C2MN 的面积.
-
8. 已知函数f (x) = |x + 1| −2|x −a|, a > 0.
(1) 当a = 1 时, 求不等式f (x) > 1 的解集;
(2) 若f (x) 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6, 求a 的取值范围.
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