2015年全国2（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年全国2（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合A = {x | −1 < x < 2}, B = {x | 0 < x < 3}, 则A ∪B = ( ) 5分
   A. (−1, 3) B. (−1, 0) C. (0, 2) D. (2, 3)
2. 2. 若a 为实数, 且2 + ai 1 + i = 3 + i, 则a = ( ) 5分
   A. −4 B. −3 C. 3 D. 4
3. 3. 根据下面给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量(单位: 万吨) 柱形图, 以下结论中不正确的是 ( ) 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2000 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 5分
   A. 逐年比较, 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B. 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4. 4. 已知a = (1, −1), b = (−1, 2), 则(2a + b) · a = ( ) 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
5. 5. 设Sn 是等差数列{an} 的前n 项和, 若a1 + a3 + a5 = 3, 则S5 = ( ) 5分
   A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
6. 6. 一个正方体被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如图, 则截去部 分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) 8 7 6 5 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
7. 7. 已知三点A (1, 0), B ( 0, √ 3 ) , C ( 2, √ 3 ) , 则△ABC 外接圆的圆心到原点 的距离为 3 (B) √ 21 3 √ 5 3 3 5分
   A. 5 C. 2 D. 4
8. 8. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减 损术”. 执行该程序框图, 若输入的a, b 分别为14, 18, 则输出的a = ( ) 开始 输入a, b a̸ = b 输出a 结束 是 否 是 否 5分
   A. > b A. = a −b B. = b −a A. 0 B. 2 C. 4 D. 14
9. 9. 已知等比数列{an} 满足a1 = 1 4, a3a5 = 4 (a4 −1), 则a2 = ( ) 2 8 5分
   A. 2 B. 1 C. 1 D. 1
10. 10. 已知A, B 是球O 的球面上两点, ∠AOB = 90◦, C 为该球面上的动点, 若 三棱锥O −ABC 体积的最大值为36, 则球O 的表面积为 ( ) 5分
    A. 36π B. 64π C. 144π D. 256π
11. 11. 如图, 长方形ABCD 的边AB = 2, BC = 1, O 是AB 的中点, 点P 沿着 边BC, CD 与DA 运动, 记∠BOP = x. 将动点P 到A, B 两点距离之 和表示为x 的函数f (x), 则y = f (x) 的图象大致为 ( ) A B C O P x D (A) x π 4 3π 4 π 2 π y 2 O (B) x π 4 3π 4 π 2 π y 2 O (C) x π 4 3π 4 π 2 π y 2 O (D) x π 4 3π 4 π 2 π y 2 O 5分
12. 12. 设函数f (x) = ln (1 + |x|) − 1 1 + x2 , 则使得f (x) > f (2x −1) 成立的x 的取值范围是 ( ) (A) (1 3, 1 ) (B) ( −∞, 1 3 ) ∪(1, +∞) (C) ( −1 3, 1 3 ) (D) ( −∞, −1 3 ) ∪ (1 3, +∞ ) 5分

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知函数f (x) = ax3 −2x 的图象过点(−1, 4), 则a = . 5分
2. 2. 若x, y 满足约束条件        x + y −5 ⩽0, 2x −y −1 ⩾0, x −2y + 1 ⩽0, 则z = 2x + y 的最大值为 . 5分
3. 3. 已知双曲线过点 ( 4, √ 3 ) , 且渐近线方程为y = ±1 2x, 则该双曲线的标准方 程为 . 5分
4. 4. 已知曲线y = x + ln x 在点(1, 1) 处的切线与曲线y = ax2 + (a + 2) x + 1 相切, 则a = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. △ABC 中, D 是BC 上的点, AD 平分∠BAC, BD = 2DC. (1) 求sin ∠B sin ∠C ; (2) 若∠BAC = 60◦, 求∠B.
2. 2. 某公司为了了解用户对其产品的满意度, 从A, B 两地区分别随机调查了 40 个用户, 根据用户对其产品的满意度的评分, 得到A 地区用户满意度评 分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表. 40 50 60 70 80 90 100 满意度评分 频率/组距 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 O 967 满意度评分分组 [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100] 频数 2 8 14 10 6 (1) 在图中作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图, 并通过此图比 较两地区满意度评分的平均值及分散程度; (不要求计算出具体值, 给出结 论即可) 50 60 70 80 90 100 满意度评分 频率/组距 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 O (2) 根据用户满意度评分, 将用户的满意度评分分为三个等级: 满意度评分 低于70 分 70 分到89 分 不低于90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大, 说明理由.
3. 3. 如图, 长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AB = 16, BC = 10, AA1 = 8, 点 E, F 分别在A1B1, D1C1 上, A1E = D1F = 4. 过点E, F 的平面α 与此 长方体的面相交, 交线围成一个正方形. (1) 在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2) 求平面α 把该长方体分成的两部分体积的比值. A B E F C D A1 B1 C1 D1 • •
4. 4. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 2 2 , 点 ( 2, √ 2 ) 在C 上. (1) 求C 的方程; (2) 直线l 不经过原点O, 且不平行于坐标轴, l 与C 有两个交点A, B, 线 段AB 中点为M, 证明: 直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.
5. 5. 已知f (x) = ln x + a (1 −x). (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 当f (x) 有最大值, 且最大值大于2a −2 时, 求a 的取值范围.
6. 6. 如图, O 为等腰三角形ABC 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M, N 两点, 与底边上的高AD 交于点G, 且与AB, AC 分别相切于E, F 两 点. (1) 证明: EF BC; (2) 若AG 等于⊙O 的半径, 且AE = MN = 2 √ 3, 求四边形EBCF 的 面积. A B C E F O G M N D •
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1: { x = t cos α, y = t sin α, (t 为参数, t̸ = 0), 其中 0 ⩽α < π. 在以O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线C2: ρ = 2 sin θ, C3: ρ = 2 √ 3 cos θ. (1) 求C2 与C3 交点的直角坐标; (2) 若C1 与C2 相交于点A, C1 与C3 相交于点B, 求|AB| 的最大值.
8. 8. 设a, b, c, d 均为正数, 且a + b = c + d, 证明: (1) 若ab > cd, 则√a + √ √ d; (2) √a + √ √ 968

原卷配图（含真实几何/应用题图示）