2015年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 若集合A = {x | −5 < x < 2}, B = {x | −3 < x < 3}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {x | −3 < x < 2} B. {x | −5 < x < 2} C. {x | −3 < x < 3} D. {x | −5 < x < 3}
2. 2. 圆心为(1, 1) 且过原点的圆的方程是 ( ) 5分
   A. (x −1)2 + (y −1)2 = 1 B. (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1 C. (x + 1)2 + (y + 1)2 = 2 D. (x −1)2 + (y −1)2 = 2
3. 3. 下列函数中为偶函数的是 ( ) 5分
   A. y = x2 sin x B. y = x2 cos x C. y = |ln x| D. y = 2−x
4. 4. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表, 采用分层抽样的方法调查教师 的身体状况, 在抽取的样本中, 青年教师有320 人, 则该样本中的老年教师 人数为 ( ) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 5分
   A. 90 B. 100 C. 180 D. 300
5. 5. 执行如图所示的程序框图, 输出k 的值为 ( ) 开始 k = 0, a = 3, q = 1 2 k = k + 1 4 输出k 结束 是 否 5分
   A. = aq A. < 1 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 6. 设a, b 是非零向量, “a · b = |a| |b|”是“a b”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 7. 某四棱锥的三视图如图所示, 该四棱锥最长棱的棱长为 ( ) 1 1 1 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 (B) √ 2 (C) √ 3 5分
   A. 1 D. 2
8. 8. 某辆汽车每次加油都把油箱加满, 下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2015 年5 月1 日 12 35000 2015 年5 月15 日 48 35600 注: “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内, 该车每100 千米平均耗油量为 ( ) 5分
   A. 6 升 B. 8 升 C. 10 升 D. 12 升

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 复数i (1 + i) 的实部为 . 5分
2. 2. 2−3, 3 1 2 , log25 三个数中最大的数是 . 5分
3. 3. 在△ABC 中, a = 3, b = √ 6, ∠A = 2π 3 , 则∠B = . 5分
4. 4. 已知(2, 0) 是双曲线x2 −y2 b2 = 1 (b > 0) 的一个焦点, 则b = . 5分
5. 5. 如图, △ABC 及其内部的点组成的集合记为D, P (x, y) 为D 中任意一点, 则z = 2x + 3y 的最大值为 . x y O B(1, 0) A(2, 1) C(0, 2) 5分
6. 6. 高三年级267 位学生参加期末考试, 某班37 位学生的语文成绩、数学成绩 与总成绩在全年级中的排名情况如图所示, 甲、乙、丙为该班三位学生. 总成绩年级名次 O 语 文 成 绩 年 级 名 次 267 267 •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • 乙 甲 总成绩年级名次 O 数 学 成 绩 年 级 名 次 267 267 ••• • •• • • • • • • • • • •• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • 丙 从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中, 其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ; ②在语文和数学两个科目中, 丙同学的成绩名次更靠前的科目是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = sin x −2 √ 3 sin2 x 2. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 求f (x) 在区间 [ 0, 2π 3 ] 上的最小值.
2. 2. 已知等差数列{an} 满足a1 + a2 = 10, a4 −a3 = 2. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设等比数列{bn} 满足b2 = a3, b3 = a7, 问: b6 与数列{an} 的第几项 相等? 937
3. 3. 某超市随机选取1000 位顾客, 记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的 情况, 整理成如下统计表, 其中“√”表示购买, “×”表示未购买. 顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率; (3) 如果顾客购买了甲, 则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性 最大?
4. 4. 如图, 在三棱锥V −ABC 中, 平面V AB ⊥平面ABC, △V AB 为等边三 角形, AC ⊥BC 且AC = BC = √ 2, O, M 分别为AB, V A 的中点. (1) 求证: V B 平面MOC; (2) 求证: 平面MOC ⊥平面V AB; (3) 求三棱锥V −ABC 的体积. A V M B C O
5. 5. 设函数f (x) = x2 2 −k ln x, k > 0. (1) 求f (x) 的单调区间和极值; (2) 证明: 若f (x) 存在零点, 则f (x) 在区间(1, √e] 上仅有一个零点.
6. 6. 已知椭圆C: x2 + 3y2 = 3, 过点D (1, 0) 且不过点E (2, 1) 的直线与椭圆 (1) 求椭圆C 的离心率; (2) 若直线AB 垂直于x 轴, 求直线BM 的斜率; (3) 试判断直线BM 与直线DE 的位置关系, 并说明理由. 938

原卷配图（含真实几何/应用题图示）