2015年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2015年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 复数i (2 −i) = ( ) 5分
   A. 1 + 2i B. 1 −2i C. −1 + 2i D. −1 −2i
2. 2. 若x, y 满足        x −y ⩽0, x + y ⩽1, x ⩾0, 则z = x + 2y 最大值为 ( ) 2 5分
   A. 0 B. 1 C. 3 D. 2
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 输出的结果为 ( ) 开始 x = 1, y = 1, k = 0 s = x −y, t = x + y x = s, y = t k = k + 1 k ⩾3 输出(x, y) 结束 是 否 5分
   A. (−2, 2) B. (−4, 0) C. (−4, −4) D. (0, 8)
4. 4. 设α, β 是两个不同的平面, m 是直线且m ⊂α, “m β”是“α β”的( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的表面积是 ( ) 2 1 1 1 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 √ 5 √ 5 √ 5 5分
   A. 2 + B. 4 + C. 2 + 2 D. 5
6. 6. 设{an} 是等差数列, 下列结论中正确的是 ( ) 5分
   A. 若a1 + a2 > 0, 则a2 + a3 > 0 B. 若a1 + a3 < 0, 则a1 + a2 < 0 C. 若0 < a1 < a2, 则a2 > √a1a3 D. 若a1 < 0, 则(a2 −a1) (a2 −a3) > 0
7. 7. 如图, 函数f (x) 的图象为折线ACB, 则不等式f (x) ⩾log2 (x + 1) 的解 集是 ( ) x y O 2 B A 1 2 C 5分
   A. {x | −1 < x ⩽0} B. {x | −1 ⩽x ⩽1} C. {x | −1 < x ⩽1} D. {x | −1 < x ⩽2}
8. 8. 汽车的“燃油效率”, 是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程, 下图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( ) ▲▲ ▲▲ ▲▲▲▲ ▲▲ ▲ ▲ ▲▲ ▲ 速度(km/h) 燃油效率(km/L) 甲车 乙车 丙车 0 5 10 15 40 80 • • • • • • • • • • 用乙车更省油 5分
   A. 消耗1 升汽油, 乙车最多可行驶5 千米 B. 以相同速度行驶相同路程, 三辆车中, 甲车消耗汽油最多 C. 甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时, 消耗10 升汽油 D. 某城市机动车最高限速80 千米/小时. 相同条件下, 在该市用丙车比

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 在(2 + x)5 的展开式中, x3 的系数为 . (用数字作答) 5分
2. 2. 已知双曲线x2 a2 −y2 = 1 (a > 0) 的一条渐近线为 √ 3x + y = 0, 则 . 5分
   A. =
3. 3. 在极坐标系中, 点 ( 2, π 3 ) 到直线ρ ( cos θ + √ 3 sin θ ) = 6 的距离为 . 5分
4. 4. 在△ABC 中, a = 4, b = 5, c = 6, 则sin 2A sin C = . 5分
5. 5. 在△ABC 中, 点M, N 满足# » AM = 2# » MC, # » BN = # » NC. 若# » MN = x# » AB + y# » AC, 则x = ; y = . 5分
6. 6. 函数f (x) = { 2x −a, x < 1, 4 (x −a) (x −2a) , x ⩾1. ①若a = 1, 则f (x) 的最小值为 ; ②若f (x) 恰有2 个零点, 则实数a 的取值范围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = √ 2 sin x 2 cos x 2 − √ 2 sin2 x 2. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 求f (x) 在区间[−π, 0] 上的最小值.
2. 2. A, B 两组各有7 位病人, 他们服用某种药物后的康复时间(单位: 天) 记 录如下: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16; 12, 13, 15, 16, 17, 14, a. 假设所有病人的康复时间相互独立, 从A, B 两组随机各选1 人, A 组选出 的人记为甲, B 组选出的人记为乙. (1) 求甲的康复时间不少于14 天的概率; (2) 如果a = 25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (3) 当a 为何值时, A, B 两组病人康复时间的方差相等? (结论不要求证 明) 935
3. 3. 如图, 在四棱锥A −EFCB 中, △AEF 为等边三角形, 平面AEF ⊥平面 EFCB, EF BC, BC = 4, EF = 2a, ∠EBC = ∠FCB = 60◦, O 为EF 的中点. (1) 求证: AO ⊥BE; (2) 求二面角F −AE −B 的余弦值; (3) 若BE ⊥平面AOC, 求a 的值. A B C E O F
4. 4. 已知函数f (x) = ln 1 + x 1 −x. (1) 求曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程; (2) 求证: 当x ∈(0, 1) 时, f (x) > 2 ( x + x3 3 ) ; (3) 设实数k 使得f (x) > k ( x + x3 3 ) 对x ∈(0, 1) 恒成立, 求k 的最大值.
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √ 2 2 , 点P (0, 1) 和点 (1) 求椭圆C 的方程, 并求点M 的坐标; (用m, n 表示) (2) 设O 为原点, 点B 与点A 关于x 轴对称, 直线PB 交x 轴于点N, 问: y 轴上是否存在点Q, 使得∠OQM = ∠ONQ? 若存在, 求点Q 的坐 标; 若不存在, 说明理由.
6. 6. 已知数列{an} 满足: a1 ∈N∗, a1 ⩽36, 且an+1 = { 2an, an ⩽18, 2an −36, an > 18, (n = 1, 2, · · · ). 记集合M = {an | n ∈N∗}. (1) 若a1 = 6, 写出集合M 的所有元素; (2) 若集合M 存在一个元素是3 的倍数, 证明: M 的所有元素都是3 的 倍数; (3) 求集合M 的元素个数的最大值. 936

原卷配图（含真实几何/应用题图示）