2015年四川（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年四川（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合A = {x | −1 < x < 2}, 集合B = {x | 1 < x < 3}, 则A∪B = ( ) 5分
   A. {x | −1 < x < 3} B. {x | −1 < x < 1} C. {x | 1 < x < 2} D. {x | 2 < x < 3}
2. 2. 设向量a = (2, 4) 与向量b = (x, 6) 共线, 则实数x = ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3. 3. 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否 存在显著差异, 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查, 则 最合理的抽样方法是 ( ) 5分
   A. 抽签法 B. 系统抽样法 C. 分层抽样法 D. 随机数法
4. 4. 设a, b 为正实数, 则“a > b > 1”是“log2a > log2b > 0”的 ( ) 5分
   A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 下列函数中, 最小正周期为π 的奇函数是 ( ) ( 2x + π 2 ) ( 2x + π 2 ) 5分
   A. y = sin B. y = cos C. y = sin 2x + cos 2x D. y = sin x + cos x
6. 6. 执行如图所示的程序框图, 输出S 的值为 ( ) 开始 k = 1 k = k + 1 k > 4? S = sin kπ 6 输出S 结束 是 否 √ 3 2 (B) √ 3 2 2 2 5分
   A. − C. −1 D. 1
7. 7. 过双曲线x2 −y2 3 = 1 的右焦点且与x 轴垂直的直线, 交该双曲线的两条 渐近线于A, B 两点, |AB| = ( ) √ 3 3 √ 3 √ 3 5分
   A. 4 B. 2 C. 6 D. 4
8. 8. 某食品的保鲜时间y (单位: 小时) 与储藏温度x (单位: ◦C) 满足函数关 系y = ekx+b (e = 2.718 · · · 为自然对数的底数, k, b 为常数). 若该食品在 0◦C 的保鲜时间是192 小时, 在22◦C 的保鲜时间是48 小时, 则该食品在 33◦C 的保鲜时间是 ( ) 5分
   A. 16 小时 B. 20 小时 C. 24 小时 D. 28 小时
9. 9. 设实数x, y 满足        2x + y ⩽10, x + 2y ⩽14, x + y ⩾6, 则xy 的最大值为 ( ) 2 2 5分
   A. 25 B. 49 C. 12 D. 16
10. 10. 设直线l 与抛物线y2 = 4x 相交于A, B 两点, 与圆(x −5)2 + y2 = r2 (r > 0) 相切于点M, 且M 为线段AB 的中点. 若这样的直线l 恰有4 条, 则r 的取值范围是 ( ) 5分
    A. (1, 3) B. (1, 4) C. (2, 3) D. (2, 4)

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 设i 是虚数单位, 则复数i −1 i = . 5分
2. 2. lg 0.01 + log2 16 的值是 . 5分
3. 3. 已知sin α + 2 cos α = 0, 则2 sin α cos α −cos2 α 的值是 . 5分
4. 4. 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠BAC = 90◦, 其正视图和侧视图都是边 长为1 的正方形, 俯视图是直角边的长为1 的等腰直角三角形. 设点M, N, P 分别是棱AB, BC, B1C1 的中点, 则三棱锥P −A1MN 的体积 是 . 5分
5. 5. 已知函数f (x) = 2x, g (x) = x2 +ax (其中a ∈R). 对于不相等的实数x1, x2, 设m = f (x1) −f (x2) x1 −x2 , n = g (x1) −g (x2) x1 −x2 , 现有如下命题: ①对于任意不相等的实数x1, x2, 都有m > 0; ②对于任意的a 及任意不相等的实数x1, x2, 都有n > 0; ③对于任意的a, 存在不相等的实数x1, x2, 使得m = n; ④对于任意的a, 存在不相等的实数x1, x2, 使得m = −n. 其中的真命题有 . (写出所有真命题的序号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设数列{an} (n = 1, 2, 3, · · · ) 的前n 项和Sn 满足Sn = 2an −a1, 且a1, a2 + 1, a3 成等差数列. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 记数列 { 1 an } 的前n 项和为Tn, 求Tn.
2. 2. 一辆小客车上有5 个座位, 其座位号为1, 2, 3, 4, 5. 乘客P1, P2, P3, P4, P5 的座位号分别为1, 2, 3, 4, 5, 他们按照座位号从小到大的顺序先后上 车. 乘客P1 因身体原因没有坐自己的1 号座位, 这时司机要求余下的乘客 按以下规则就座: 如果自己的座位空着, 就只能坐自己的座位; 如果自己的 座位已有乘客就座, 就在这5 个座位的剩余空位中任意选择座位. (1) 若乘客P1 坐到了3 号座位, 其他乘客按规则就座, 则此时共有4 种坐 法. 下表给出了其中两种坐法, 请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号 填入表中空格处); 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 (2) 若乘客P1 坐到了2 号座位, 其他乘客按规则就座, 求乘客P5 坐到5 号座位的概率.
3. 3. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1) 请将字母F, G, H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2) 判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系, 并证明你的结论; (3) 证明: 直线DF ⊥平面BEG· E H A B D C G F A B C D E 983
4. 4. 已知A, B, C 为△ABC 的内角, tan A, tan B 是关于x 的方程 x2 + √ 3px −p + 1 = 0 (p ∈R) 的两个实根. (1) 求C 的大小; (2) 若AB = 3, AC = √ 6, 求p 的值.
5. 5. 如图, 椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率是 √ 2 2 , 点P (0, 1) 在短 轴CD 上, 且# » PC · # » PD = −1. (1) 求椭圆E 的方程; (2) 设O 为坐标原点, 过点P 的动直线与椭圆交于A, B 两点. 是否存在 常数λ, 使得# » OA · # » OB + λ# » PA · # » PB 为定值? 若存在, 求λ 的值; 若不存在, 请说明理由. x y O A B C P D
6. 6. 已知函数f (x) = −2x ln x + x2 −2ax + a2, 其中a > 0. (1) 设g (x) 是f (x) 的导函数, 讨论g (x) 的单调性; (2) 证明: 存在a ∈(0, 1), 使得f (x) ⩾0 恒成立, 且f (x) = 0 在区间 (1, +∞) 内有唯一解. 984

原卷配图（含真实几何/应用题图示）