2015年四川（理科）

本卷为官方高考数学真题（2015年四川（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合A = {x | (x + 1)(x −2) < 0}, 集合B = {x | 1 < x < 3}, 则 A∪B = ( ) 5分
   A. {x | −1 < x < 3} B. {x | −1 < x < 1} C. {x | 1 < x < 2} D. {x | 2 < x < 3}
2. 2. 设i 是虚数单位, 则复数i3 −2 i = ( ) 5分
   A. −i B. −3i C. i D. 3i
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 输出S 的值为 ( ) 开始 k = 1 k = k + 1 k > 4? S = sin kπ 6 输出S 结束 是 否 √ 3 2 (B) √ 3 2 2 2 5分
   A. − C. −1 D. 1
4. 4. 下列函数中, 最小正周期为π 且图象关于原点对称的函数是 ( ) ( 2x + π 2 ) ( 2x + π 2 ) 5分
   A. y = cos B. y = sin C. y = sin 2x + cos 2x D. y = sin x + cos x
5. 5. 过双曲线x2 −y2 3 = 1 的右焦点且与x 轴垂直的直线, 交该双曲线的两条 渐近线于A, B 两点, |AB| = ( ) √ 3 3 √ 3 √ 3 5分
   A. 4 B. 2 C. 6 D. 4
6. 6. 用数字0, 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的五位数, 其中比40000 大的偶 数共有 ( ) 5分
   A. 144 个 B. 120 个 C. 96 个 D. 72 个
7. 7. 设四边形ABCD 为平行四边形, # » AB  = 6, # » AD  = 4. 若点M, N 满足 # » BM = 3# » MC, # » DN = 2# » NC, 则# » AM · # » NM = ( ) 5分
   A. 20 B. 15 C. 9 D. 6
8. 8. 设a, b 都是不等于1 的正数, 则“3a > 3b > 3”是“loga3 < logb3”的 ( ) 5分
   A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 9. 如果函数f (x) = 1 2 (m −2) x2 + (n −8) x + 1 (m ⩾0, n ⩾0) 在区间 [1 2, 2 ] 上单调递减, 那么mn 的最大值为 ( ) 2 5分
   A. 16 B. 18 C. 25 D. 81
10. 10. 设直线l 与抛物线y2 = 4x 相交于A, B 两点, 与圆(x −5)2 + y2 = r2 (r > 0) 相切于点M, 且M 为线段AB 的中点. 若这样的直线l 恰有4 条, 则r 的取值范围是 ( ) 5分
    A. (1, 3) B. (1, 4) C. (2, 3) D. (2, 4)

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 在(2x −1)5 的展开式中, 含x2 的项的系数是 . (用数字填写答案) 5分
2. 2. sin 15◦+ sin 75◦的值是 . 5分
3. 3. 某食品的保鲜时间y (单位: 小时) 与储藏温度x (单位: ◦C) 满足函数关 系y = ekx+b (e = 2.718 · · · 为自然对数的底数, k, b 为常数). 若该食品在 0◦C 的保鲜时间是192 小时, 在22◦C 的保鲜时间是48 小时, 则该食品在 33◦C 的保鲜时间是 小时. 5分
4. 4. 如图, 四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形, 它们所在的平面互相垂直, 动点M 在线段PQ 上, E, F 分别为AB, BC 的中点. 设异面直线EM 与AF 所成的角为θ, 则cos θ 的最大值为 . A B C D P Q M F E 5分
5. 5. 已知函数f (x) = 2x, g (x) = x2 +ax (其中a ∈R). 对于不相等的实数x1, x2, 设m = f (x1) −f (x2) x1 −x2 , n = g (x1) −g (x2) x1 −x2 , 现有如下命题: ①对于任意不相等的实数x1, x2, 都有m > 0; ②对于任意的a 及任意不相等的实数x1, x2, 都有n > 0; ③对于任意的a, 存在不相等的实数x1, x2, 使得m = n; ④对于任意的a, 存在不相等的实数x1, x2, 使得m = −n. 其中的真命题有 . (写出所有真命题的序号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设数列{an} (n = 1, 2, 3, · · · ) 的前n 项和Sn 满足Sn = 2an −a1, 且a1, a2 + 1, a3 成等差数列. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 记数列 { 1 an } 的前n 项和为Tn, 求使得|Tn −1| < 1 1000 成立的n 的 最小值.
2. 2. 某市A, B 两所中学的学生组队参加辩论赛, A 中学推荐了3 名男生、2 名 女生, B 中学推荐了3 名男生、4 名女生, 两校所推荐的学生一起参加集 训. 由于集训后队员水平相当, 从参加集训的男生中随机抽取3 人、女生 中随机抽取3 人组成代表队. (1) 求A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率; (2) 某场比赛前, 从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛, 设X 表示参 赛的男生人数, 求X 的分布列和数学期望. 981
3. 3. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. 在正方 体中, 设BC 的中点为M, GH 的中点为N. (1) 请将字母F, G, H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2) 证明: 直线MN 平面BDH; (3) 求二面角A −EG −M 的余弦值. E H A B D C G F A B M C D E •
4. 4. 如图, A, B, C, D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1) 证明: tan A 2 = 1 −cos A sin A ; (2) 若A + C = 180◦, AB = 6, BC = 3, CD = 4, AD = 5, 求 tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 + tan D 2 的值. A B C D
5. 5. 如图, 椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率是 √ 2 2 , 过点P (0, 1) 的 动直线l 与椭圆相交于A, B 两点. 当直线l 平行于x 轴时, 直线l 被椭圆 √ 2. (1) 求椭圆E 的方程; (2) 在平面直角坐标系xOy 中, 是否存在与点P 不同的定点Q, 使得 |QA| |QB| = |PA| |PB| 恒成立? 若存在, 求出点Q 的坐标; 若不存在, 请说明理由. x y O A B P
6. 6. 已知函数f (x) = −2 (x + a) ln x + x2 −2ax −2a2 + a, 其中a > 0. (1) 设g (x) 是f (x) 的导函数, 讨论g (x) 的单调性; (2) 证明: 存在a ∈(0, 1), 使得f (x) ⩾0 在区间(1, +∞) 内恒成立, 且 982

原卷配图（含真实几何/应用题图示）