2015年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年天津（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6}, 集合A = {2, 3, 5}, 集合B = {1, 3, 4, 6}, 则集合A ∩∁UB = ( ) 5分
   A. {3} B. {2, 5} C. {1, 4, 6} D. {2, 3, 5}
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x −2 ⩽0, x −2y ⩽0, x + 2y −8 ⩽0, 则目标函数z = 3x + y 的最 大值为 ( ) 5分
   A. 7 B. 8 C. 9 D. 14
3. 3. 阅读程序框图, 运行相应的程序, 则输出i 的值为 ( ) 开始 S = 10, i = 0 i = i + 1 S = S −i S ⩽1? 输出S 结束 是 否 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 4. 设x ∈R, 则“1 < x < 2”是“|x −2| < 1”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一焦点为F (2, 0), 且双曲线的 渐近线与圆(x −2)2 + y2 = 3 相切, 则双曲线的方程为 ( ) 9 −y2 13 = 1 13 −y2 9 = 1 3 −y2 = 1 3 = 1 5分
   A. x2 B. x2 C. x2 D. x2 −y2
6. 6. 如图, 在圆O 中, M, N 是弦AB 的三等分点, 弦CD, CE 分别经过点M, N, 若CM = 2, MD = 4, CN = 3, 则线段NE 的长为 ( ) A B C E O D N M • 3 3 2 5分
   A. 8 B. 3 C. 10 D. 5
7. 7. 已知定义在R 上的函数f (x) = 2|x−m| −1 (m 为实数) 为偶函数, 记 ( ) 5分
   A. = f (log0.53), b = f (log25), c = f (2m), 则a, b, c 的大小关系为 A. a < b < c B. c < a < b C. a < c < b D. c < b < a
8. 8. 已知函数f (x) = { 2 −|x| , x ⩽2, (x −2)2 , x > 2, 函数g (x) = 3 −f (2 −x), 则函数 y = f (x) −g (x) 的零点个数为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. i 是虚数单位, 计算1 −2i 2 + i 的结果为 . 5分
2. 2. 一个几何体的三视图如图所示(单位: m), 则该几何体的体积为 m3. 1 2 1 1 1 1 1 正视图 俯视图 侧视图 1 1 1 1 1 5分
3. 3. 已知函数f (x) = ax ln x, x ∈(0, +∞), 其中a 为实数, f ′ (x) 为f (x) 的 导函数. 若f ′ (1) = 3, 则a 的值为 . 5分
4. 4. 已知a > 0, b > 0, ab = 8, 则当a 的值为 时, log2a · log2(2b) 取得最 大值. 5分
5. 5. 在等腰梯形ABCD 中, 已知AB DC, AB = 2, BC = 1, ∠ABC = 60◦. 点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且# » BE = 2 3 # » BC, # » DF = 1 6 # » DC, 则 # » AE · # » AF 的值为 . 5分
6. 6. 已知函数f (x) = sin ωx + cos ωx (ω > 0), x ∈R, 若函数f (x) 在区间 (−ω, ω) 内单调递增, 且函数y = f (x) 的图象关于直线x = ω 对称, 则ω 的值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27, 9, 18. 现采用分层 抽样的方法从这三个协会中抽取6 名运动员组队参加比赛. (1) 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数; (2) 将抽取的6 名运动员进行编号, 编号分别为A1, A2, A3, A4, A5, A6. 现从这6 名运动员中随机抽取2 人参加双打比赛. ①用所给编号列出所有可能的结果; ②设A 为事件: “编号为A5 和A6 的两名运动员中至少有1 人被抽 到”, 求事件A 发生的概率.
2. 2. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知△ABC 的面积 为3 √ 15, b −c = 2, cos A = −1 4. (1) 求a 和sin C 的值; (2) 求cos ( 2A + π 6 ) 的值. 987
3. 3. 如图, 已知AA1 ⊥平面ABC, BB1 AA1, AB = AC = 3, BC = 2 √ 5, AA1 = √ 7, BB1 = 2 √ 7, 点E 和F 分别为BC 和A1C 的中点. (1) 求证: EF 平面A1B1BA; (2) 求证: 平面AEA1 ⊥平面BCB1; (3) 求直线A1B1 与平面BCB1 所成角的大小. B E F A C A1 B1
4. 4. 已知数列{an} 是各项均为正数的等比数列, {bn} 是等差数列, 且 a1 = b1 = 1, b2 + b3 = 2a3, a5 −3b2 = 7. (1) 求{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 设cn = anbn, n ∈N∗, 求数列{cn} 的前n 项和.
5. 5. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的上顶点为B, 左焦点为F, 离心率为 √ 5 5 . (1) 求直线BF 的斜率; (2) 设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B), 过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B), 直线PQ 与y 轴交于点M, |PM| = λ |MQ|. ①求λ 的值; ②若|PM| sin ∠BQP = 7 √ 5 9 , 求椭圆的方程.
6. 6. 已知函数f (x) = 4x −x4, x ∈R. (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 设曲线y = f (x) 与x 轴正半轴的交点为P, 曲线在点P 处的切线方 程为y = g (x), 求证: 对于任意的实数x, 都有f (x) ⩽g (x); (3) 若方程f (x) = a (a 为实数) 有两个正实数根x1, x2, 且x1 < x2, 求证: x2 −x1 ⩽−a 3 + 4 1 3 . 988

原卷配图（含真实几何/应用题图示）