2015年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2015年天津（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 集合A = {2, 3, 5, 6}, 集合 ( ) 5分
   B. = {1, 3, 4, 6, 7}, 则集合A ∩∁UB = A. {2, 5} B. {3, 6} C. {2, 5, 6} D. {2, 3, 5, 6, 8}
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x + 2 ⩾0, x −y + 3 ⩾0, 2x + y −3 ⩽0, 则目标函数z = x + 6y 的最 大值为 ( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 18 D. 40
3. 3. 阅读程序框图, 运行相应的程序, 则输出S 的值为 ( ) 开始 S = 20, i = 1 i = 2i S = S −i i > 5? 输出S 结束 是 否 5分
   A. −10 B. 6 C. 14 D. 18
4. 4. 设x ∈R, 则“|x −2| < 1”是“x2 + x −2 > 0”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 如图, 在圆O 中, M, N 是弦AB 的三等分点, 弦CD, CE 分别经过点M, N, 若CM = 2, MD = 4, CN = 3, 则线段NE 的长为 ( ) A B C E O D N M • 3 3 2 5分
   A. 8 B. 3 C. 10 D. 5
6. 6. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线过点 ( 2, √ 3 ) , 且双 曲线的一个焦点在抛物线y2 = 4 √ 7x 的准线上, 则双曲线的方程为 ( ) 21 −y2 28 = 1 28 −y2 21 = 1 3 −y2 4 = 1 4 −y2 3 = 1 5分
   A. x2 B. x2 C. x2 D. x2
7. 7. 已知定义在R 上的函数f (x) = 2|x−m| −1 (m 为实数) 为偶函数, 记 ( ) 5分
   A. = f (log0.53), b = f (log25), c = f (2m), 则a, b, c 的大小关系为 A. a < b < c B. a < c < b C. c < a < b D. c < b < a
8. 8. 已知函数f (x) = { 2 −|x| , x ⩽2, (x −2)2 , x > 2, 函数g (x) = b −f (2 −x), 其中 ( ) (A) (7 4, +∞ ) (B) ( −∞, 7 4 ) (C) ( 0, 7 4 ) (D) (7 4, 2 ) 5分
   B. ∈R. 若函数y = f (x) −g (x) 恰有4 个零点, 则b 的取值范围是

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. i 是虚数单位, 若复数(1 −2i) (a + i) 是纯虚数, 则实数a 的值为 . 5分
2. 2. 一个几何体的三视图如图所示(单位: m), 则该几何体的体积为 m3. 1 2 1 1 1 1 1 正视图 俯视图 侧视图 1 1 1 1 1 5分
3. 3. 曲线y = x2 与直线y = x 所围成的封闭图形的面积为 . 5分
4. 4. 在 ( x −1 4x )6 的展开式中, x2 的系数为 . 5分
5. 5. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知△ABC 的面积 为3 √ 15, b −c = 2, cos A = −1 4, 则a 的值为 . 5分
6. 6. 在等腰梯形ABCD 中, 已知AB DC, AB = 2, BC = 1, ∠ABC = 60◦. 动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且# » BE = λ# » BC, # » DF = 1 9λ # » DC, 则# » AE · # » AF 的最小值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = sin2 x −sin2 ( x −π 6 ) , x ∈R. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 求f (x) 在区间 [ −π 3 , π 4 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 为推动乒乓球运动的发展, 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3 名, 其中种子选手2 名; 乙协会的运动员5 名, 其中种子选手3 名. 从这8 名运动员中随机选择4 人参加比赛. (1) 设A 为事件“选出的4 人中恰有2 名种子选手, 且这2 名种子选手来 自同一个协会”, 求事件A 发生的概率; (2) 设X 为选出的4 人中种子选手的人数, 求随机变量X 的分布列和数 学期望. 985
3. 3. 如图, 在四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, 侧棱A1A ⊥底面ABCD, AB ⊥AC, AB = 1, AC = AA1 = 2, AD = CD = √ 5, 且点M 和 N 分别为B1C 和D1D 的中点. (1) 求证: MN 平面ABCD; (2) 求二面角D1 −AC −B1 的正弦值; (3) 设E 为棱A1B1 上的点, 若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值 为1 3, 求线段A1E 的长. A D N B C A1 M D1 B1 C1
4. 4. 已知数列{an} 满足an+2 = qan (q 为实数, 且q̸ = 1), n ∈N∗, a1 = 1, a2 = 2, 且a2 + a3, a3 + a4, a4 + a5 成等差数列. (1) 求q 的值和{an} 的通项公式; (2) 设bn = log2a2n a2n−1 , n ∈N∗, 求数列{bn} 的前n 项和.
5. 5. 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F (−c, 0), 离心率为 √ 3 3 , 点M 在椭圆上且位于第一象限, 直线FM 被圆x2 + y2 = b2 4 截得的线段 的长为c, |FM| = 4 √ 3 3 . (1) 求直线FM 的斜率; (2) 求椭圆的方程; (3) 设动点P 在椭圆上, 若直线FP 的斜率大于 √ 2, 求直线OP (O 为原 点) 的斜率的取值范围.
6. 6. 已知函数f (x) = nx −xn, x ∈R, 其中n ∈N∗, 且n ⩾2. (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 设曲线y = f (x) 与x 轴正半轴的交点为P, 曲线在点P 处的切线方 程为y = g (x), 求证: 对于任意的正实数x, 都有f (x) ⩽g (x); (3) 若关于x 的方程f (x) = a (a 为实数) 有两个正实数根x1, x2, 求证: |x2 −x1| < a 1 −n + 2. 986

原卷配图（含真实几何/应用题图示）