2015年安徽（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年安徽（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设i 是虚数单位, 则复数(1 −i)(1 + 2i) = ( ) 5分
   A. 3 + 3i B. −1 + 3i C. 3 + i D. −1 + i
2. 2. 设全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, 则 ( ∁UB ) = ( ) 5分
   A. ∩ A. {1, 2, 5, 6} B. {1} C. {2} D. {1, 2, 3, 4}
3. 3. 设p: x < 3, q: −1 < x < 3, 则p 是q 成立的 ( ) 5分
   A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 下列函数中, 既是偶函数又存在零点的是 ( ) 5分
   A. y = cos x B. y = sin x C. y = ln x D. y = x2 + 1
5. 5. 已知x, y 满足约束条件        x −y ⩾0, x + y −4 ⩽0, y ⩾1, 则z = −2x + y 的最大值是( ) 5分
   A. −1 B. −2 C. −5 D. 1
6. 6. 下列双曲线中, 渐近线方程为y = ±2x 的是 ( ) 4 = 1 4 −y2 = 1 2 = 1 2 −y2 = 1 5分
   A. x2 −y2 B. x2 C. x2 −y2 D. x2
7. 7. 执行如图所示的程序框图(算法流程图), 输出的n 为 ( ) 开始 |a −1.414| ⩾0.005? 1 1 + a n = n + 1 输出n 结束 是 否 5分
   A. = 1, n = 1 A. = 1 + A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 8. 直线3x + 4y = b 与圆x2 + y2 −2x −2y + 1 = 0 相切, 则b 的值是 ( ) 5分
   A. −2 或12 B. 2 或−12 C. −2 或−12 D. 2 或12
9. 9. 一个四面体的三视图如图所示, 则该四面体的表面积是 ( ) 1 1 1 1 1 1 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 √ 3 √ 3 √ 2 √ 2 5分
   A. 1 + B. 2 + C. 1 + 2 D. 2
10. 10. 函数f (x) = ax3 +bx2 +cx+d 的图象如图所示, 则下列结论成立的是( ) x x2 x1 y P O 5分
    A. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0 B. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0 C. a < 0, b < 0, c > 0, d > 0 D. a > 0, b > 0, c > 0, d < 0

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 计算: lg 5 2 + 2 lg 2 − (1 2 )−1 = . 5分
2. 2. 在△ABC 中, AB = √ 6, ∠A = 75◦, ∠B = 45◦, 则AC = . 5分
3. 3. 已知数列{an} 中, a1 = 1, an = an−1 + 1 2 (n ⩾2), 则数列{an} 的前9 项 和等于 . 5分
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 若直线y = 2a 与函数y = |x −a| −1 的图象 只有一个交点, 则a 的值为 . 5分
5. 5. △ABC 是边长为2 的等边三角形, 已知向量a, b 满足# » AB = 2a, # » AC = 2a + b, 则下列结论中正确的是 . (写出所有正确结论的序 号) ①a 为单位向量; ②b 为单位向量; ③a ⊥b; ④b # » BC; ⑤(4a + b) ⊥# » BC. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = (sin x + cos x)2 + cos 2x. (1) 求f (x) 最小正周期; (2) 求f (x) 在区间 [ 0, π 2 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况, 随机访问50 名职工, 根据这50 名职工对该部门的评分, 绘制频率分布直方图(如图所示), 其中 样本数据分组区间为: [40, 50), [50, 60), · · · , [80, 90), [90, 100]. 频率 组距 0 分数 40 50 60 70 80 90 100 a 0.004 0.028 0.022 0.018 (1) 求频率分布直方图中a 的值; (2) 估计该企业的职工对该部门评分不低于80 的概率; (3) 从评分在[40, 60) 的受访职工中, 随机抽取2 人, 求此2 人评分都在 [40, 50) 的概率. 933
3. 3. 已知数列{an} 是递增的等比数列, 且a1 + a4 = 9, a2a3 = 8. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设Sn 为数列{an} 的前n 项和, bn = an+1 SnSn+1 , 求数列{bn} 的前n 项 和Tn.
4. 4. 如图, 三棱锥P −ABC 中, PA ⊥平面ABC, PA = 1, AB = 1, AC = 2, ∠BAC = 60◦. (1) 求三棱锥P −ABC 的体积; (2) 证明: 在线段PC 上存在点M, 使得AC ⊥BM, 并求PM MC 的值. A B C P
5. 5. 设椭圆E 的方程为x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), 点O 为坐标原点, 点 |BM| = 2 |MA|, 直线OM 的斜率为 √ 5 10 . (1) 求E 的离心率e; (2) 设点C 的坐标为(0, −b), N 为线段AC 的中点, 证明: MN ⊥AB.
6. 6. 已知函数f (x) = ax (x + r)2 (a > 0, r > 0). (1) 求f (x) 的定义域, 并讨论f (x) 的单调性; (2) 若a r = 400, 求f (x) 在(0, +∞) 内的极值. 934

原卷配图（含真实几何/应用题图示）