2015年安徽（理科）

本卷为官方高考数学真题（2015年安徽（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设i 是虚数单位, 则复数 2i 1 −i 在复平面内所对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 下列函数中, 既是偶函数又存在零点的是 ( ) 5分
   A. y = cos x B. y = sin x C. y = ln x D. y = x2 + 1
3. 3. 设p: 1 < x < 2, q: 2x > 1, 则p 是q 成立的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 下列双曲线中, 焦点在y 轴上且渐近线方程为y = ±2x 的是 ( ) 4 = 1 4 −y2 = 1 4 −x2 = 1 4 = 1 5分
   A. x2 −y2 B. x2 C. y2 D. y2 −x2
5. 5. 已知m, n 是两条不同直线, α, β 是两个不同平面, 则下列命题正确的 是 ( ) 5分
   A. 若α, β 垂直于同一平面, 则α 与β 平行 B. 若m, n 平行于同一平面, 则m 与n 平行 C. 若α, β 不平行, 则在α 内不存在与β 平行的直线 D. 若m, n 不平行, 则m 与n 不可能垂直于同一平面
6. 6. 若样本数据x1, x2, · · · , x10 的标准差为8, 则数据2x1 −1, 2x2 −1, · · · , 2x10 −1 的标准差为 ( ) 5分
   A. 8 B. 15 C. 16 D. 32
7. 7. 一个四面体的三视图如图所示, 则该四面体的表面积是 ( ) 1 1 1 1 1 1 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 √ 3 √ 3 √ 2 √ 2 5分
   A. 1 + B. 2 + C. 1 + 2 D. 2
8. 8. △ABC 是边长为2 的等边三角形, 已知向量a, b 满足, # » AB = 2a, # » AC = 2a + b, 则下列结论正确的是 ( ) BC 5分
   A. |b| = 1 B. a ⊥b C. a · b = 1 D. (4a + b) ⊥# »
9. 9. 函数f (x) = ax + b (x + c)2 的图象如图所示, 则下列结论成立的是 ( ) x N P y M O 5分
   A. a > 0, b > 0, c < 0 B. a < 0, b > 0, c > 0 C. a < 0, b > 0, c < 0 D. a < 0, b < 0, c < 0
10. 10. 已知函数f (x) = A sin (ωx + φ) (A, ω, φ 均为正的常数) 的最小正周期为 π, 当x = 2π 3 时, 函数f (x) 取得最小值, 则下列结论正确的是 ( ) 5分
    A. f (2) < f (−2) < f (0) B. f (0) < f (2) < f (−2) C. f (−2) < f (0) < f (2) D. f (2) < f (0) < f (−2)

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. ( x3 + 1 x )7 的展开式中x5 的系数是 . (用数字填写答案) 5分
2. 2. 在极坐标系中, 圆ρ = 8 sin θ 上的点到直线θ = π 3 (ρ ∈R) 距离的最大值 是 . 5分
3. 3. 执行如图所示的程序框图(算法流程图), 输出的n 为 . 开始 |a −1.414| ⩾0.005? 1 1 + a n = n + 1 输出n 结束 是 否 5分
   A. = 1, n = 1 A. = 1 +
4. 4. 已知数列{an} 是递增的等比数列, a1 + a4 = 9, a2a3 = 8, 则数列{an} 的 前n 项和等于 . 5分
5. 5. 设x3 + ax + b = 0, 其中a, b 均为实数, 下列条件中, 使得该三次方程仅有 一个实根的是 . (写出所有正确条件的编号) ①a = −3, b = −3; ②a = −3, b = 2; ③a = −3, b > 2; ④a = 0, b = 2; ⑤a = 1, b = 2. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, A = 3π 4 , AB = 6, AC = 3 √ 2, 点D 在BC 边上, AD = BD, 求AD 的长.
2. 2. 已知2 件次品和3 件正品混放在一起, 现需要通过检测将其区分, 每次随 机检测一件产品, 检测后不放回, 直到检测出2 件次品或者检测出3 件正 品时检测结束. (1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2) 已知每检测一件产品需要费用100 元, 设X 表示直到检测出2 件次品 或者检测出3 件正品时所需要的检测费用(单位: 元), 求X 的分布列和均 值(数学期望). 931
3. 3. 设n ∈N∗, xn 是曲线y = x2n+2 + 1 在点(1, 2) 处的切线与x 轴交点的横 坐标. (1) 求数列{xn} 的通项公式; (2) 记Tn = x2 1x2 3 · · · x2 2n−1, 证明: Tn ⩾1 4n.
4. 4. 如图所示, 在多面体A1B1D1DCBA, 四边形AA1B1B, ADD1A1, ABCD 均为正方形, E 为B1D1 的中点, 过A1, D, E 的平面交CD1 于F. (1) 证明: EF B1C; (2) 求二面角E −A1D −B1 的余弦值. A B C D E F A1 B1 D1
5. 5. 设椭圆E 的方程为x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), 点O 为坐标原点, 点 |BM| = 2 |MA|, 直线OM 的斜率为 √ 5 10 . (1) 求E 的离心率e; (2) 设点C 的坐标为(0, −b), N 为线段AC 的中点, 点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7 2, 求E 的方程.
6. 6. 设函数f (x) = x2 −ax + b. (1) 讨论函数f (sin x) 在 ( −π 2 , π 2 ) 内的单调性并判断有无极值, 有极值时 求出极值; (2) 记f0 (x) = x2 −a0x + b0, 求函数|f (sin x) −f0 (sin x)| 在 [ −π 2 , π 2 ] 上 的最大值D; (3) 在(2) 中, 取a0 = b0 = 0, 求z = b −a2 4 满足D ⩽1 时的最大值. 932

原卷配图（含真实几何/应用题图示）