2015年山东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年山东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合A = {x | 2 < x < 4}, B = {x | (x −1)(x −3) < 0}, 则A ∩ ( ) 5分
   B. = A. (1, 3) B. (1, 4) C. (2, 3) D. (2, 4)
2. 2. 若复数z 满足 z 1 −i = i, 其中i 为虚数单位, 则z = ( ) 5分
   A. 1 −i B. 1 + i C. −1 −i D. −1 + i
3. 3. 设a = 0.60.6, b = 0.61.5, c = 1.50.6, 则a, b, c 的大小关系是 ( ) 5分
   A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. b < c < a
4. 4. 要得到函数y = sin ( 4x −π 3 ) 的图象, 只需要将函数y = sin 4x 的图 象 ( ) 12 个单位 12 个单位 3 个单位 3 个单位 5分
   A. 向左平移π B. 向右平移π C. 向左平移π D. 向右平移π
5. 5. 若m ∈R, 命题“m > 0, 方程x2 + x −m = 0 有实根”的逆否命题是 ( ) 5分
   A. 若方程x2 + x −m = 0 有实根, 则m > 0 B. 若方程x2 + x −m = 0 有实根, 则m ⩽0 C. 若方程x2 + x −m = 0 没有实根, 则m > 0 D. 若方程x2 + x −m = 0 没有实根, 则m ⩽0
6. 6. 为比较甲、乙两地某月14 时的气温情况, 随机选取该月中的5 天, 将这5 天中14 时的气温数据(单位: ◦C) 制成如图所示的茎叶图. 考虑以下结论: 甲 乙 9 8 6 2 8 9 1 1 3 0 1 2 ①甲地该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温; ②甲地该月14 时的平均气温高于乙地该月14 时的平均气温; ③甲地该月14 时的平均气温的标准差小于乙地该月14 时的气温的标准 差; ④甲地该月14 时的平均气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准 差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为 ( ) 5分
   A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
7. 7. 在区间[0, 2] 上随机地取一个数x, 则事件“−1 ⩽log 1 2 ( x + 1 2 ) ⩽1”发生 的概率为 ( ) 4 3 3 4 5分
   A. 3 B. 2 C. 1 D. 1
8. 8. 若函数f (x) = 2x + 1 2x −a 是奇函数, 则使f (x) > 3 成立的x 的取值范围 为 ( ) 5分
   A. (−∞, −1) B. (−1, 0) C. (0, 1) D. (1, +∞)
9. 9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2, 将该三角形绕其斜边所在的直线 旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( ) √ 2 3 π √ 2π 3 √ 2π √ 2π 5分
   A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
10. 10. 设函数f (x) = { 3x −b, x < 1, 2x, x ⩾1, 若f ( f (5 6 )) = 4, 则b = ( ) 8 4 2 5分
    A. 1 B. 7 C. 3 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 执行如图所示的程序框图, 若输入的x 的值为1, 则输出的y 的值是 . 开始 输入x x < 2 x = x + 1 y = 3x2 + 1 输出y 结束 是 否 5分
2. 2. 若x, y 满足约束条件        y −x ⩽1, x + y ⩽3, y ⩾1, 则z = x + 3y 的最大值为 . 5分
3. 3. 过点P ( 1, √ 3 ) 作圆x2 + y2 = 1 的两条切线, 切点分别为A, B, 则 # » PA · # » PB . 5分
4. 4. 定义运算“⊗”: x ⊗y = x2 −y2 xy (x, y ∈R, xy̸ = 0). 当x > 0, y > 0 时, x ⊗y + (2y) ⊗x 的最小值为 . 5分
5. 5. 过双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点作一条与其渐近线平行 的直线, 交C 于点P. 若点P 的横坐标为2a, 则C 的离心率为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某中学调查了某班全部45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况, 数据 如下表: (单位: 人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1) 从该班随机选1 名同学, 求该同学至少参加上述一个社团的概率; (2) 在既参加书法社团又参加演讲社团的8 名同学中, 有5 名男同学A1, A2, A3, A4, A5, 3 名女同学B1, B2, B3. 现从这5 名男同学和3 名女同学 中各随机选1 人, 求A1 被选中且B1 未被选中的概率.
2. 2. △ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 已知cos B = √ 3 3 , sin (A + B) = √ 6 9 , ac = 2 √ 3, 求sin A 和c 的值. 971
3. 3. 如图, 在三棱台DEF −ABC 中, AB = 2DE, G, H 分别为AC, BC 的 中点. (1) 求证: BD 平面FGH; (2) 若CF ⊥BC, AB ⊥BC, 求证: 平面BCD ⊥平面EGH. B C D G H E F A
4. 4. 已知数列{an} 是首项为正数的等差数列, 数列 { 1 an · an+1 } 的前n 项和 为 n 2n + 1. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设bn = (an + 1) · 2an, 求数列{bn} 的前n 项和Tn.
5. 5. 设函数f (x) = (x + a) ln x, g (x) = x2 ex . 已知曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线与直线2x −y = 0 平行. (1) 求a 的值; (2) 是否存在自然数k, 使得方程f (x) = g (x) 在(k, k + 1) 内存在唯一的 根? 如果存在, 求出k; 如果不存在, 请说明理由; (3) 设函数m (x) = min {f (x) , g (x)} (min {p, q} 表示p, q 中的较小值), 求m (x) 的最大值.
6. 6. 平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率 为 √ 3 2 , 且点 (√ 3, 1 2 ) 在椭圆C 上. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设椭圆E: x2 4a2 + y2 4b2 = 1, P 为椭圆C 上任意一点, 过点P 的直线 y = kx + m 交椭圆E 于A, B 两点, 射线PO 交椭圆E 于点Q. ①求|OQ| |OP| 的值; ②求△ABQ 面积的最大值. 972

原卷配图（含真实几何/应用题图示）