2015年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2015年山东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合A = {x | x2 −4x + 3 < 0}, B = {x | 2 < x < 4}, 则A∩B =( ) 5分
   A. (1, 3) B. (1, 4) C. (2, 3) D. (2, 4)
2. 2. 若复数z 满足 z 1 −i = i, 其中i 为虚数单位, 则z = ( ) 5分
   A. 1 −i B. 1 + i C. −1 −i D. −1 + i
3. 3. 要得到函数y = sin ( 4x −π 3 ) 的图象, 只需要将函数y = sin 4x 的图 象 ( ) 12 个单位 12 个单位 3 个单位 3 个单位 5分
   A. 向左平移π B. 向右平移π C. 向左平移π D. 向右平移π
4. 4. 已知菱形ABCD 的边长为a, ∠ABC = 60◦, 则# » BD · # » CD = ( ) 2a2 4a2 4a2 2a2 5分
   A. −3 B. −3 C. 3 D. 3
5. 5. 不等式|x −1| −|x −5| < 2 的解集是 ( ) 5分
   A. (−∞, 4) B. (−∞, 1) C. (1, 4) D. (1, 5)
6. 6. 已知x, y 满足约束条件        x −y ⩾0, x + y ⩽2, y ⩾0, 若z = ax + y 的最大值为4, 则 ( ) 5分
   A. = A. 3 B. 2 C. −2 D. −3
7. 7. 在梯形ABCD 中, ∠ABC = π 2 , AD BC, BC = 2AD = 2AB = 2. 将 梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的 体积为 ( ) 3 3 3 5分
   A. 2π B. 4π C. 5π D. 2π
8. 8. 已知某批零件的长度误差(单位: 毫米) 服从正态分布N (0, 32), 从中随机 取一件, 其长度误差落在区间(3, 6) 内的概率为 ( ) (附: 若随机变量ξ 服从正态分布N (µ, σ2), 则P (µ −σ < ξ < µ + σ) = 68.26%, P (µ −2σ < ξ < µ + 2σ) = 95.44%) 5分
   A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%
9. 9. 一条光线从点(−2, −3) 射出, 经y 轴反射后与圆(x + 3)2 + (y −2)2 = 1 相切, 则反射光线所在直线的斜率为 ( ) 3 或−3 5 2 或−2 3 4 或−4 5 3 或−3 4 5分
   A. −5 B. −3 C. −5 D. −4
10. 10. 设函数f (x) = { 3x −1, x < 1, 2x, x ⩾1, 则满足f (f (a)) = 2f(a) 的a 取值范围 是 ( ) (A) [2 3, 1 ] (C) [2 3, +∞ ) 5分
    B. [0, 1] D. [1, +∞)

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 观察下列各式: C0 1 = 40; C0 3 + C1 3 = 41; C0 5 + C1 5 + C2 5 = 42; C0 7 + C1 7 + C2 7 + C3 7 = 43; · · · · · · 照此规律, 当n ∈N∗时, C0 2n−1 + C1 2n−1 + C2 2n−1 + · · · + Cn−1 2n−1 = . 5分
2. 2. 若“∀x ∈ [ 0, π 4 ] , tan x ⩽m”是真命题, 则实数m 的最小值为 . 5分
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 输出的T 的值为 . 开始 n = 1, T = 1 n < 3 T = T + ∫1 0 xndx n = n + 1 输出T 结束 是 否 5分
4. 4. 已知函数f (x) = ax + b (a > 0, a̸ = 1) 的定义域和值域都是[−1, 0], 则 . 5分
   A. + b =
5. 5. 平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C1: x2 a2 −y2 b2 = 1(a > 0, b > 0) 的渐近线 与抛物线C2: x2 = 2py (p > 0) 交于O, A, B. 若△OAB 的垂心为C2 的 焦点, 则C1 的离心率为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设f (x) = sin x cos x −cos2 ( x + π 4 ) . (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 在锐角△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 若f (A 2 ) = 0,
2. 2. 如图, 在三棱台DEF −ABC 中, AB = 2DE, G, H 分别为AC, BC 的 中点. (1) 求证: BD 平面FGH; (2) 若CF ⊥平面ABC, AB ⊥BC, CF = DE, ∠BAC = 45◦, 求平面 FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角) 的大小. B C D G H E F A
3. 3. 设数列{an} 的前n 项和为Sn. 已知2Sn = 3n + 3. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 若数列{bn} 满足anbn = log3an, 求{bn} 的前n 项和Tn. 969
4. 4. 若n 是一个三位正整数, 且n 的个位数字大于〸位数字, 〸位数字大于百 位数字, 则称n 为“三位递增数”(如137, 359, 567 等). 在某次数学趣味活 动中, 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1 个数, 且只能抽取 一次. 得分规则如下: 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整 除, 参加者得0 分; 若能被5 整除, 但不能被10 整除, 得−1 分; 若能被10 整除, 得1 分. (1) 写出所有个位数字是5 的“三位递增数”; (2) 若甲参加活动, 求甲得分X 的分布列和数学期望EX.
5. 5. 平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率 为 √ 3 2 , 左、右焦点分别是F1, F2. 以F1 为圆心以3 为半径的圆与以F2 为圆心以1 为半径的圆相交, 且交点在椭圆C 上. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 设椭圆E: x2 4a2 + y2 4b2 = 1, P 为椭圆C 上任意一点, 过点P 的直线 y = kx + m 交椭圆E 于A, B 两点, 射线PO 交椭圆E 于点Q. ①求|OQ| |OP| 的值; ②求△ABQ 面积的最大值.
6. 6. 设函数f (x) = ln (x + 1) + a (x2 −x), 其中a ∈R. (1) 讨论函数f (x) 极值点的个数, 并说明理由; (2) 若∀x > 0, f (x) ⩾0 成立, 求a 的取值范围. 970

原卷配图（含真实几何/应用题图示）