2015年广东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年广东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若集合M = {−1, 1}, N = {−2, 1, 0}, 则M ∩N = ( ) 5分
   A. {0, −1} B. {1} C. {0} D. {−1, 1}
2. 2. 已知i 是虚数单位, 则复数(1 + i)2 = ( ) 5分
   A. 2i B. −2i C. 2 D. −2
3. 3. 下列函数中, 既不是奇函数, 也不是偶函数的是 ( ) 2x 5分
   A. y = x + sin 2x B. y = x2 −cos x C. y = 2x + 1 D. y = x2 + sin x
4. 4. 若变量x, y 满足约束条件        x + 2y ⩽2, x + y ⩾0, x ⩽4, 则z = 2x + 3y 的最大值为( ) 5分
   A. 2 B. 5 C. 8 D. 10
5. 5. 设△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 若a = 2, c = 2 √ 3, cos A = √ 3 2 且b < c, 则b = ( ) √ 2 (D) √ 3 5分
   A. 3 B. 2 C. 2
6. 6. 若直线l1 和l2 是异面直线, l1 在平面α 内, l2 在平面β 内, l 是平面α 与 平面β 的交线, 则下列命题正确的是 ( ) 5分
   A. l 与l1, l2 都不相交 B. l 与l1, l2 都相交 C. l 至多与l1, l2 中的一条相交 D. l 至少与l1, l2 中的一条相交
7. 7. 已知5 件产品中有2 件次品, 其余为合格品, 现从5 件产品中任取2 件, 恰 有一件次品的概率为 ( ) 5分
   A. 0.4 B. 0.6 C. 0.8 D. 1
8. 8. 已知椭圆x2 25 + y2 m2 = 1 (m > 0) 的左焦点为F1 (−4, 0), 则m = ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
9. 9. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知四边形ABCD 是平行四边形, # » AB = (1, −2), # » AD = (2, 1), 则# » AD · # » AC = ( ) 5分
   A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
10. 10. 若集合E = {(p, q, r, s) | 0 ⩽p < s ⩽4, 0 ⩽q < s ⩽4, 0 ⩽r < s ⩽4 且 p, q, r, s ∈N}, F = {(t, u, v, w) | 0 ⩽t < u ⩽4, 0 ⩽v < w ⩽4 且t, u, v, w ∈N}, 用card (X) 表示集合X 中元素个数, 则card (E)+card (F) =( ) 5分
    A. 200 B. 150 C. 100 D. 50

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 不等式−x2 −3x + 4 > 0 的解集为 . ( 用区间表示) 5分
2. 2. 已知样本数据x1, x2, · · · , xn 的均值x = 5, 则样本数据2x1 + 1, 2x2 + 1, · · · , 2xn + 1 的均值为 . 5分
3. 3. 若三个正数a, b, c 成等比数列, 其中a = 5 + 2 √ 6, c = 5 −2 √ 6, 则 . 5分
   B. =
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系, 曲线C1 的极坐标方程为ρ (cos θ + sin θ) = −2, 曲线C2 的参数 方程为 { x = t2, y = 2 √ 2t, (t 为参数), 则C1 与C2 交点的直角坐标为 . 5分
5. 5. 如图, AB 为圆O 的直径, E 为AB 延长线上一点, 过E 作圆O 的切线, 切点为C, 过A 作直线EC 的垂线, 垂足为D. 若AB = 4, CE = 2 √ 3, 则AD = . A B C O E D • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知tan α = 2. (1) 求tan ( α + π 4 ) 的值; (2) 求 sin 2α sin2 α + sin α cos α −cos 2α −1 的值.
2. 2. 某城市100 户居民的月平均用电量(单位: 度), 以[160, 180), [180, 200), [200, 220), [220, 240), [240, 260), [260, 280), [280, 300) 分组的频率分布直 方图如图. 频率 组距 0 月平均用电量/度 0.002 0.0095 0.011 0.0125 0.005 0.0025 x 160 180 200 220 240 260 280 300 (1) 求直方图中x 的值; (2) 求月平均用电量的众数和中位数; (3) 在月平均用电量为[220, 240), [240, 260), [260, 280), [280, 300) 的四组 用户中, 用分层抽样的方法抽取11 户居民, 则月平均用电量在[220, 240) 的用户中应抽取多少户? 949
3. 3. 如图, 三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直, PD = PC = 4, AB = 6, BC = 3. (1) 证明: BC 平面PDA; (2) 证明: BC ⊥PD; (3) 求点C 到平面PDA 的距离. A P B C D
4. 4. 设数列{an} 的前n 项和为Sn, n ∈N∗, 已知a1 = 1, a2 = 3 2, a3 = 5 4, 且 当n ⩾2 时, 4Sn+2 + 5Sn = 8Sn+1 + Sn−1. (1) 求a4 的值; (2) 证明: { an+1 −1 2an } 为等比数列; (3) 求数列{an} 的通项公式.
5. 5. 已知过原点的动直线l 与圆C1: x2 + y2 −6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A, B. (1) 求圆C1 的圆心坐标; (2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程; (3) 是否存在实数k, 使得直线L: y = k (x −4) 与曲线C 只有一个交点? 若存在, 求出k 的取值范围; 若不存在, 说明理由.
6. 6. 设a 为实数, 函数f (x) = (x −a)2 + |x −a| −a (a −1). (1) 若f (0) ⩽1, 求a 的取值范围; (2) 讨论f (x) 的单调性; (3) 当a ⩾2 时, 讨论f (x) + 4 x 在区间(0, +∞) 内的零点个数. 950

原卷配图（含真实几何/应用题图示）