2015年广东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2015年广东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 若集合M = {x | (x + 4)(x + 1) = 0}, N = {x | (x −4)(x −1) = 0}, 则 M ∩N = ( ) 5分
   A. {1, 4} B. {−1, −4} C. {0} D. ∅
2. 2. 若复数z = i (3 −2i) (i 是虚数单位), 则z = ( ) 5分
   A. 2 −3i B. 2 + 3i C. 3 + 2i D. 3 −2i
3. 3. 下列函数中, 既不是奇函数, 也不是偶函数的是 ( ) √ 1 + x2 x 2x 5分
   A. y = B. y = x + 1 C. y = 2x + 1 D. y = x + ex
4. 4. 袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球, 其中有10 个白球, 5 个红球. 从 袋中任取2 个球, 所取的2 个球中恰有1 个白球, 1 个红球的概率为( ) 21 21 21 5分
   A. 5 B. 10 C. 11 D. 1
5. 5. 平行于直线2x + y + 1 = 0 且与圆x2 + y2 = 5 相切的直线的方程是( ) √ 5 = 0 或2x + y − √ 5 = 0 √ 5 = 0 或2x −y − √ 5 = 0 5分
   A. 2x + y + 5 = 0 或2x + y −5 = 0 B. 2x + y + C. 2x −y + 5 = 0 或2x −y −5 = 0 D. 2x −y +
6. 6. 若变量x, y 满足约束条件        4x + 5y ⩾8, 1 ⩽x ⩽3, 0 ⩽y ⩽2, 则z = 3x + 2y 的最小值为( ) 5 5 5分
   A. 4 B. 23 C. 6 D. 31
7. 7. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 的离心率e = 5 4, 且其右焦点为F2 (5, 0), 则 双曲线C 的方程为 ( ) 4 −y2 3 = 1 (B) x2 9 −y2 16 = 1 (C) x2 16 −y2 9 = 1 3 −y2 4 = 1 5分
   A. x2 D. x2
8. 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等, 则正整数n 的取值 ( ) 5分
   A. 至多等于3 B. 至多等于4 C. 等于5 D. 大于5

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 在(√x −1) 4 的展开式中, x 的系数为 . 5分
2. 2. 在等差数列{an} 中, 若a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = 25, 则a2 + a8 = . 5分
3. 3. 设△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 若a = √ 3, sin B = 1 2, 6 , 则b = . 5分
   C. = π
4. 4. 某高三毕业班有40 人, 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言, 那么 全班共写了 条毕业留言. (用数字作答) 5分
5. 5. 已知随机变量X 服从二项分布B (n, p), 若E (X) = 30, D (X) = 20, 则 p = . 5分
6. 6. 已知直线l 的极坐标方程为2ρ sin ( θ −π 4 ) = √ 2, 点A 的极坐标为 A ( 2 √ 2, 7π 4 ) , 则点A 到直线l 的距离为 . 5分
7. 7. 如图, 已知AB 是圆O 的直径, AB = 4, EC 是圆O 的切线, 切点为C, BC = 1. 过圆心O 作BC 的平行线, 分别交EC 和AC 于点D 和点P, 则OD = . A B C O E P D • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知向量m = (√ 2 2 , − √ 2 2 ) , n = (sin x, cos x), x ∈ ( 0, π 2 ) . (1) 若m ⊥n, 求tan x 的值; (2) 若m 与n 的夹角为π 3 , 求x 的值.
2. 2. 某工厂36 名工人的年龄数据如下表. 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 (1) 用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为9 的样本, 且在第一分段里用 随机抽样法抽到的年龄数据为44, 列出样本的年龄数据; (2) 计算(1) 中样本的均值x 和方差s2; (3) 36 名工人中年龄在x −s 与x + s 之间有多少人? 所占的百分比是多 少(精确到0.01%)? 947
3. 3. 如图, 三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直, PD = PC = 4, AB = 6, BC = 3. 点E 是CD 边的中点, 点F, G 分别在线段 AB, BC 上, 且AF = 2FB, CG = 2GB. (1) 证明: PE ⊥FG; (2) 求二面角P −AD −C 的正切值; (3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值. A P F E B C G D
4. 4. 设a > 1, 函数f (x) = (1 + x2) ex −a. (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 证明: f (x) 在(−∞, +∞) 上仅有一个零点; (3) 若曲线y = f (x) 在点P 处的切线与x 轴平行, 且在点M (m, n) 处的 切线与直线OP 平行(O 是坐标原点), 证明: m ⩽ 3 √
5. 5. 已知过原点的动直线l 与圆C1: x2 + y2 −6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A, B. (1) 求圆C1 的圆心坐标; (2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程; (3) 是否存在实数k, 使得直线L: y = k (x −4) 与曲线C 只有一个交点? 若存在, 求出k 的取值范围; 若不存在, 说明理由.
6. 6. 数列{an} 满足a1 + 2a2 + · · · + nan = 4 −n + 2 2n−1 , n ∈N∗. (1) 求a3 的值; (2) 求数列{an} 的前n 项和Tn; (3) 令b1 = a1, bn = Tn−1 n + ( 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n ) an (n ⩾2), 证明: 数 列{bn} 的前n 项和Sn 满足Sn < 2 + 2 ln n. 948

原卷配图（含真实几何/应用题图示）