2015年江苏

本卷为官方高考数学真题（2015年江苏），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 已知集合A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5}, 则集合A ∪B 中元素的个数 为 . 5分
2. 2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6, 那么这组数据的平均数为 . 5分
3. 3. 设复数z 满足z2 = 3 + 4i (i 是虚数单位), 则z 的模为 . 5分
4. 4. 根据如图所示的伪代码, 可知输出的结果S 为 . S ←1 I ←1 While I < 8 S ←S + 2 I ←I + 3 End While Print S 5分
5. 5. 袋中有形状、大小都相同的4 只球, 其中1 只白球、1 只红球、2 只黄球, 从中一次随机摸出2 只球, 则这2 只球颜色不同的概率为 . 5分
6. 6. 已知向量a = (2, 1), b = (1, −2), 若ma + nb = (9, −8) (m, n ∈R), 则 m −n 的值为 . 5分
7. 7. 不等式2x2−x < 4 的解集为 . 5分
8. 8. 已知tan α = −2, tan (α + β) = 1 7, 则tan β 的值为 . 5分
9. 9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5, 高为4 的圆锥和底面半径为2, 高为8 的 圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变, 但底面半径相 同的新的圆锥和圆柱各一个, 则新的底面半径为 . 5分
10. 10. 在平面直角坐标系xOy 中, 以点(1, 0) 为圆心且与直线mx−y−2m−1 = 0 (m ∈R) 相切的所有圆中, 半径最大的圆的标准方程为 . 5分
11. 11. 设数列{an} 满足a1 = 1, 且an+1 −an = n + 1 (n ∈N∗), 则数列 { 1 an } 前10 项的和为 . 5分
12. 12. 在平面直角坐标系xOy 中, P 为双曲线x2 −y2 = 1 右支上的一个动点, 若点P 到直线x −y + 1 = 0 的距离大于c 恒成立, 则实数c 的最大值 为 . 5分
13. 13. 已知函数f (x) = |ln x|, g (x) = { 0, 0 < x ⩽1, x2 −4  −2, x > 1, 则方程 |f (x) + g (x)| = 1 实根的个数为 . 5分
14. 14. 设向量ak = ( cos kπ 6 , sin kπ 6 + cos kπ 6 ) (k = 0, 1, 2, · · · , 12), 则 11 ∑ k=0 (ak · ak+1) 的值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 9 题）

1. 1. 在△ABC 中, 已知AB = 2, AC = 3, A = 60◦. (1) 求BC 的长; (2) 求sin 2C 的值.
2. 2. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, 已知AC ⊥BC, BC = CC1, 设 AB1 的中点为D, B1C ∩BC1 = E. 求证: (1) DE 平面AA1C1C; (2) BC1 ⊥AB1. A D A1 B1 E B C C1
3. 3. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路, 为进一步改善山区的交通现状, 计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路. 记两条相互垂直的 公路为l1, l2, 山区边界曲线为C, 计划修建的公路为l. 如图所示, M, N 为C 的两个端点, 测得点M 到l1, l2 的距离分别为5 千米和40 千米, 点 N 到l1, l2 的距离分别为20 千米和2.5 千米. 以l2, l1 所在的直线分别为 x, y 轴, 建立平面直角坐标系xOy. 假设曲线C 符合函数y = a x2 + b (其 中a, b 为常数) 模型. (1) 求a, b 的值; (2) 设公路l 与曲线C 相切于P 点, P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t), 并写出其定义域; ②当t 为何值时, 公路l 的长度最短? 求出最短长度. x y C P l O l2 N M l1 山 区 • •
4. 4. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离 心率为 √ 2 2 , 且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1) 求椭圆的标准方程; (2) 过F 的直线与椭圆交于A, B 两点, 线段AB 的垂直平分线分别交直 线l 和AB 于点P, C, 若PC = 2AB, 求直线AB 的方程. x y O B A P C F l 959
5. 5. 已知函数f (x) = x3 + ax2 + b (a, b ∈R). (1) 试讨论f (x) 的单调性; (2) 若b = c −a (实数c 是与a 无关的常数), 当函数f (x) 有三个不同 的零点时, a 的取值范围恰好是(−∞, −3)∪ ( 1, 3 2 ) ∪ (3 2, +∞ ) , 求c 的值.
6. 6. 设a1, a2, a3, a4 是各项为正数且公差为d (d̸ = 0) 的等差数列. (1) 证明: 2a1, 2a2, 2a3, 2a4 依次构成等比数列; (2) 是否存在a1, d, 使得a1, a2 2, a3 3, a4 4 依次构成等比数列? 并说明理由; (3) 是否存在a1, d 及正整数n, k, 使得an 1, an+k 2 , an+2k 3 , an+3k 4 依次构成 等比数列? 并说明理由.
7. 7. 四选二. 【A】如图, 在△ABC 中, AB = AC, △ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交 BC 于点D. 求证: △ABD ∽△AEB. A D E B C O • 【B】已知x, y ∈R, 向量α = [ 1 −1 ] 是矩阵A = [ x 1 y 0 ] 的属于特征值 −2 的一个特征向量, 求矩阵A 以及它的另一个特征值. 【C】已知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2 √ 2ρ sin ( θ −π 4 ) −4 = 0, 求圆C 的 半径. 【D】解不等式x + |2x + 3| ⩾2.
8. 8. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, 已知PA ⊥平面ABCD, 且四边形ABCD 为直角梯形, ∠ABC = ∠BAD = π 2 , PA = AD = 2, AB = BC = 1. (1) 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值; (2) 点Q 是线段BP 上的动点, 当直线CQ 与DP 所成的角最小时, 求线 段BQ 的长. A B C D P Q
9. 9. 已知集合X = {1, 2, 3}, Yn = {1, 2, 3, · · · , n} (n ∈N∗), 设Sn = {(a, b) | a 整除b 或b 整除a, a ∈X, b ∈Yn}, 令f (n) 表示集合Sn 所含 元素的个数. (1) 写出f (6) 的值; (2) 当n ⩾6 时, 写出f (n) 的表达式, 并用数学归纳法证明. 960

原卷配图（含真实几何/应用题图示）