2015年浙江（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年浙江（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合P = {x | x2 −2x ⩾3}, Q = {x | 2 < x < 4}, 则P ∩Q = ( ) 5分
   A. [3, 4) B. (2, 3] C. (−1, 2) D. (−1, 3]
2. 2. 某几何体的三视图如图所示(单位: cm), 则该几何体的体积是 ( ) 2 2 2 2 正视图 俯视图 侧视图 3 cm3 3 cm3 5分
   A. 8 cm3 B. 12 cm3 C. 32 D. 40
3. 3. 设a, b 是实数, 则“a + b > 0”是“ab > 0”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 设α, β 是两个不同的平面, l, m 是两条不同的直线, 且l ⊂α, m ⊂β. ( ) β, 则α β β, 则l m 5分
   A. 若l ⊥β, 则α ⊥β B. 若α ⊥β, 则l ⊥m C. 若l D. 若α
5. 5. 函数f (x) = ( x −1 x ) cos x (−π ⩽x ⩽π 且x̸ = 0) 的图象可能为 ( ) (A) x π −π y O (B) x π −π y O (C) x π −π y O (D) x π −π y O 5分
6. 6. 有三个房间需要粉刷, 粉刷方案要求: 每个房间只用一种颜色, 且三个房间 颜色各不相同. 已知三个房间的粉刷面积(单位: m2) 分别为x, y, z, 且 x < y < z, 三种颜色涂料的粉刷费用(单位: 元/m2) 分别为a, b, c, 且 ( ) 5分
   A. < b < c. 在不同的方案中, 最低的总费用(单位: 元) 是 A. ax + by + cz B. az + by + cx C. ay + bz + cx D. ay + bx + cz
7. 7. 如图, 斜线段AB 与平面α 所成的角为60◦, B 为斜足, 平面α 上的动点 P 满足∠PAB = 30◦, 则点P 的轨迹是 ( ) A B P α 5分
   A. 直线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支
8. 8. 设实数a, b, t 满足|a + 1| = |sin b| = t. 则下列说法中正确的是 ( ) 2 唯一确定 5分
   A. 若t 确定, 则b2 唯一确定 B. 若t 确定, 则a2 + 2a 唯一确定 C. 若t 确定, 则sin b D. 若t 确定, 则a2 + a 唯一确定

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 计算log2 √ 2 2 = , 2log23+log43 = . 5分
2. 2. 已知{an} 是等差数列, 公差d 不为零. 若a2, a3, a7 成等比数列, 且 2a1 + a2 = 1, 则a1 = , d = . 5分
3. 3. 函数f (x) = sin2x + sin x cos x + 1 的最小正周期是 , 最小值 是 . 5分
4. 4. 已知函数f (x) =    x2, x ⩽1, x + 6 x −6, x > 1, 则f (f (−2)) = , f (x) 的最 小值是 . 5分
5. 5. 已知e1, e2 是平面单位向量, 且e1 · e2 = 1 2. 若平面向量b 满足 . 5分
   B. · e1 = b · e2 = 1, 则|b| =
6. 6. 已知实数x, y 满足x2 + y2 ⩽1, 则|2x + y −4| + |6 −x −3y| 的最大值 是 . 5分
7. 7. 椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的右焦点F (c, 0) 关于直线y = b cx 的对称 点Q 在椭圆上, 则椭圆的离心率是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 已知tan (π 4 + A ) = 2. (1) 求 sin 2A sin 2A + cos2A 的值; (2) 若B = π 4 , a = 3, 求△ABC 的面积.
2. 2. 已知数列{an} 和{bn} 满足a1 = 2, b1 = 1, an+1 = 2an (n ∈N∗), b1 + 1 2b2 + 1 3b3 + · · · + 1 nbn = bn+1 −1 (n ∈N∗). (1) 求an 与bn; (2) 记数列{anbn} 的前n 项和为Tn, 求Tn. 991
3. 3. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠BAC = 90◦, AB = AC = 2, A1A = 4, A1 在底面ABC 的射影为BC 的中点, D 是B1C1 的中点. (1) 证明: A1D ⊥平面A1BC; (2) 求直线A1B 和平面BB1C1C 所成的角的正弦值. A B C D A1 B1 C1
4. 4. 如图, 已知抛物线C1: y = 1 4x2, 圆C2: x2 + (y −1)2 = 1, 过点P (t, 0) (t > 0) 作不过原点O 的直线PA, PB 分别与抛物线C1 和圆C2 相切, A, (1) 求点A, B 的坐标; (2) 求△PAB 的面积. 注: 直线与抛物线有且只有一个公共点, 且与抛物线的对称轴不平行, 则称 该直线与抛物线相切, 称该公共点为切点. x y O B A P
5. 5. 设函数f (x) = x2 + ax + b (a, b ∈R). (1) 当b = a2 4 + 1 时, 求函数f (x) 在[−1, 1] 上的最小值g (a) 的表达式; (2) 已知函数f (x) 在[−1, 1] 上存在零点, 0 ⩽b −2a ⩽1, 求b 的取值范 围. 992

原卷配图（含真实几何/应用题图示）