2015年浙江（理科）

本卷为官方高考数学真题（2015年浙江（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合P = {x | x2 −2x ⩾0}, Q = {x | 1 < x ⩽2}, 则(∁RP)∩Q =( ) 5分
   A. [0, 1) B. (0, 2] C. (1, 2) D. [1, 2]
2. 2. 某几何体的三视图如图所示(单位: cm), 则该几何体的体积是 ( ) 2 2 2 2 正视图 俯视图 侧视图 3 cm3 3 cm3 5分
   A. 8 cm3 B. 12 cm3 C. 32 D. 40
3. 3. 已知{an} 是等差数列, 公差d 不为零, 前n 项和是Sn, 若a3, a4, a8 成等 比数列, 则 ( ) 5分
   A. a1d > 0, dS4 > 0 B. a1d < 0, dS4 < 0 C. a1d > 0, dS4 < 0 D. a1d < 0, dS4 > 0
4. 4. 命题“∀n ∈N∗, f (n) ∈N∗且f (n) ⩽n”的否定形式是 ( ) 5分
   A. ∀n ∈N∗, f (n) /∈N∗且f (n) > n B. ∀n ∈N∗, f (n) /∈N∗或f (n) > n C. ∃n0 ∈N∗, f (n0) /∈N∗且f (n0) > n0 D. ∃n0 ∈N∗, f (n0) /∈N∗或f (n0) > n0
5. 5. 如图, 设抛物线y2 = 4x 的焦点为F, 不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B, C, 其中点A, B 在抛物线上, 点C 在y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是 ( ) F A B C x y O |AF| −1 |AF|2 −1 |AF| + 1 |AF|2 + 1 5分
   A. |BF| −1 B. |BF|2 −1 C. |BF| + 1 D. |BF|2 + 1
6. 6. 设A, B 是有限集, 定义: d (A, B) = card (A ∪B) −card (A ∩B), 其中 card (A) 表示有限集A 中元素的个数. 命题①: 对任意有限集A, B, “A̸ = B”是“d (A, B) > 0”的充分必要条件; 命题②: 对任意有限集A, B, C, d (A, C) ⩽d (A, B) + d (B, C). ( ) 5分
   A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立, 命题②不成立 D. 命题①不成立, 命题②成立
7. 7. 存在函数f (x) 满足: 对于任意x ∈R 都有 ( ) 5分
   A. f (sin 2x) = sin x B. f (sin 2x) = x2 + x C. f (x2 + 1) = |x + 1| D. f (x2 + 2x) = |x + 1|
8. 8. 如图, 已知△ABC, D 是AB 的中点, 沿直线CD 将△ACD 翻折成 △A′CD, 所成二面角A′ −CD −B 的平面角为α, 则 ( ) A B C A′ D 5分
   A. ∠A′DB ⩽α B. ∠A′DB ⩾α C. ∠A′CB ⩽α D. ∠A′CB ⩾α

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 双曲线x2 2 −y2 = 1 的焦距是 , 渐近线方程是 . 5分
2. 2. 已知函数f (x) =    x + 2 x −3, x ⩾1, lg ( x2 + 1 ) , x < 1, 则f (f (−3)) = , f (x) 的 最小值是 . 5分
3. 3. 函数f (x) = sin2x + sin x cos x + 1 的最小正周期是 , 单调递减区间 是 . 5分
4. 4. 若a = log43, 则2a + 2−a = . 5分
5. 5. 如图, 在三棱锥A−BCD 中, AB = AC = BD = CD = 3, AD = BC = 2, 点M, N 分别为AD, BC 的中点, 则异面直线AN, CM 所成的角的余弦 值是 . A B C N D M 5分
6. 6. 若实数x, y 满足x2 + y2 ⩽1, 则|2x + y −2| + |6 −x −3y| 的最小值 是 . 5分
7. 7. 已知e1, e2 是空间单位向量, e1 · e2 = 1 2, 若空间向量b 满足b · e1 = 2, b · e2 = 5 2, 且对于任意x, y ∈R, #»b −(xe1 + ye2)  ⩾|b −(x0e1 + y0e2)| = 1 (x0, y0 ∈R), 则x0 = , y0 = , |b| = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c. 已知A = π 4 , b2 −a2 = 1 2c2. (1) 求tan C 的值; (2) 若△ABC 的面积为3, 求b 的值. 989
2. 2. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠BAC = 90◦, AB = AC = 2, A1A = 4, A1 在底面ABC 的射影为BC 的中点, D 是B1C1 的中点. (1) 证明: A1D ⊥平面A1BC; (2) 求二面角A1 −BD −B1 的平面角的余弦值. A B C D A1 B1 C1
3. 3. 已知函数f (x) = x2 + ax + b (a, b ∈R), 记M (a, b) 是|f (x)| 在区间 [−1, 1] 上的最大值. (1) 证明: 当|a| ⩾2 时, M (a, b) ⩾2; (2) 当a, b 满足M (a, b) ⩽2 时, 求|a| + |b| 的最大值.
4. 4. 已知椭圆x2 2 + y2 = 1 上两个不同的点A, B 关于直线y = mx + 1 2 对称. (1) 求实数m 的取值范围; (2) 求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). x y O B A
5. 5. 已知数列{an} 满足a1 = 1 2 且an+1 = an −a2 n (n ∈N∗). (1) 证明: 1 ⩽ an an+1 ⩽2 (n ∈N∗); (2) 设数列{a2 n} 的前n 项和为Sn, 证明: 1 2 (n + 2) ⩽Sn n ⩽ 1 2 (n + 1) (n ∈N∗). 990

原卷配图（含真实几何/应用题图示）