2015年湖北（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年湖北（文科）），共 4 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 4 题）

1. 1. 设等差数列{an} 的公差为d, 前n 项和为Sn, 等比数列{bn} 的公比为q. 已知b1 = a1, b2 = 2, q = d, S10 = 100. (1) 求数列{an}, {bn} 的通项公式; (2) 当d > 1 时, 记cn = an bn , 求数列{cn} 的前n 项和为Tn.
2. 2. 《九章算术》中, 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图, 在阳马P −ABCD 中, 侧棱PD ⊥底面ABCD, 且PD = CD, 点 (1) 证明: DE ⊥平面PBC. 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑, 若是, 写 出其每个面的直角(只需写出结论); 若不是, 请说明理由; (2) 记阳马P −ABCD 的体积为V1, 四面体EBCD 的体积为V2, 求V1 V2 的值. A B C D P E
3. 3. 设函数f (x), g (x) 的定义域均为R, 且f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数, (1) 求f (x), g (x) 的解析式, 并证明: 当x > 0 时, f (x) > 0, g (x) > 1; (2) 设a ⩽0, b ⩾1, 证明: 当x > 0 时, ag (x) + (1 −a) < f (x) x < bg (x) + (1 −b).
4. 4. 一种作图工具如图①所示. O 是滑槽AB 的中点, 短杆ON 可绕O 转动, 长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接, MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑 动, 且DN = ON = 1, MN = 3. 当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时, 带动N 绕O 转动一周(D 不动时, N 也不动), M 处的笔尖画出的曲线记 为C. 以O 为原点, AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐 标系. (1) 求曲线C 的方程; (2) 设动直线l 与两定直线l1: x −2y = 0 和l2: x + 2y = 0 分别交于P, Q 两点. 若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点, 试探究: △OPQ 的面 积是否存在最小值? 若存在, 求出该最小值; 若不存在, 说明理由. x y O N D A B M O N D M ① ② 954

原卷配图（含真实几何/应用题图示）