本卷为官方高考数学真题（2015年湖北（理科）），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设等差数列{an} 的公差为d, 前n 项和为Sn, 等比数列{bn} 的公比为q.
已知b1 = a1, b2 = 2, q = d, S10 = 100.
(1) 求数列{an}, {bn} 的通项公式;
(2) 当d > 1 时, 记cn = an
bn
, 求数列{cn} 的前n 项和为Tn.
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2. 《九章算术》中, 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为
阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图, 在阳马P −ABCD 中, 侧棱PD ⊥底面ABCD, 且PD = CD, 过
棱PC 的中点E, 作EF ⊥PB 交PB 于点F, 连接DE, DF, BD, BE.
(1) 证明: PB ⊥平面DEF. 试判断四面体DBEF 是否为鳖臑, 若是, 写
出其每个面的直角(只需写出结论); 若不是, 说明理由.
(2) 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π
3 , 求DC
BC 的值.
A
B
C
D
P
F
E
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3. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A, B 两种奶制品. 生产1 吨A 产品需鲜
牛奶2 吨, 使用设备1 小时, 获利1000 元; 生产1 吨B 产品需鲜牛奶1.5
吨, 使用设备1.5 小时, 获利1200 元. 要求每天B 产品的产量不超过A 产
品产量的2 倍, 设备每天生产A, B 两种产品时间之和不超过12 小时. 假
定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位: 吨) 是一个随机变量, 其分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产, 使其获利最大, 因此每天的最
大获利Z (单位: 元) 是一个随机变量.
(1) 求Z 的分布列和均值;
(2) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立, 求3 天中至少有1 天的最大获
利超过10000 元的概率.
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4. 一种作图工具如图①所示. O 是滑槽AB 的中点, 短杆ON 可绕O 转动,
长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接, MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑
动, 且DN = ON = 1, MN = 3. 当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,
带动N 绕O 转动一周(D 不动时, N 也不动), M 处的笔尖画出的曲线记
为C. 以O 为原点, AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐
标系.
(1) 求曲线C 的方程;
(2) 设动直线l 与两定直线l1: x −2y = 0 和l2: x + 2y = 0 分别交于P,
Q 两点. 若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点, 试探究: △OPQ 的面
积是否存在最小值? 若存在, 求出该最小值; 若不存在, 说明理由.
x
y
O
N
D
A
B
M
O
N
D
M
①
②
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5. 已知数列{an} 的各项均为正数, bn = n
(
1 + 1
n
)n
an (n ∈N+), e 为自然
对数的底数.
(1) 求函数f (x) = 1 + x −ex 的单调区间, 并比较
(
1 + 1
n
)n
与e 的大小;
(2) 计算b1
a1
, b1b2
a1a2
, b1b2b3
a1a2a3
, 由此推测计算b1b2 · · · bn
a1a2 · · · an
的公式, 并给出证明;
(3) 令cn = (a1a2 · · · an)
1
n , 数列{an}, {cn} 的前n 项和分别记为Sn, Tn,
证明: Tn < eSn.
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