2015年湖南（文科）

本卷为官方高考数学真题（2015年湖南（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知(1 −i)2 z = 1 + i (i 为虚数单位), 则复数z = ( ) 5分
   A. 1 + i B. 1 −i C. −1 + i D. −1 −i
2. 2. 在一次马拉松比赛中, 35 名运动员的成绩(单位: 分钟) 茎叶图如图所示. 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3 若将运动员按成绩由好到差编为1 ∼35 号, 再用系统抽样的方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间[139, 151] 上的运动员的人数是 ( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 3. 设x ∈R, 则“x > 1”是“x3 > 1”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 若变量x, y 满足约束条件        x + y ⩾1, y −x ⩽1, x ⩽1, 则z = 2x −y 的最小值为 ( ) 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
5. 5. 执行如图所示的程序框图, 如果输入n = 3, 则输出的S = ( ) 开始 输入n i = 1, S = 0 S = S + 1 (2i −1)(2i + 1) i = i + 1 i > n? 输出S 结束 是 否 7 7 9 9 5分
   A. 6 B. 3 C. 8 D. 4
6. 6. 若双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 的一条渐近线经过点(3, −4), 则此双曲线的离心率 为 ( ) (A) √ 7 3 4 3 3 5分
   B. 5 C. 4 D. 5
7. 7. 若实数a, b 满足1 √ ab, 则ab 的最小值为 ( ) (A) √ 2 √ 2 5分
   A. + 2 B. = B. 2 C. 2 D. 4
8. 8. 设函数f (x) = ln (1 + x) −ln (1 −x), 则f (x) 是 ( ) 5分
   A. 奇函数, 且在(0, 1) 是增函数 B. 奇函数, 且在(0, 1) 是减函数 C. 偶函数, 且在(0, 1) 是增函数 D. 偶函数, 且在(0, 1) 是减函数
9. 9. 已知点A, B, C 在圆x2 + y2 = 1 上运动, 且AB ⊥BC. 若点P 的坐标 为(2, 0), 则 # » PA + # » PB + # » PC  的最大值为 ( ) 5分
   A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
10. 10. 某工件的三视图如图所示, 现将该工件通过切削, 加工成一个体积尽可能 大的正方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内, 则原工 件材料的利用率为(材料的利用率= 新工件的体积 原工件的体积) ( ) 2 3 3 3 3 2 正视图 俯视图 侧视图 9π (B) 8 27π (√ 2 −1 )3 π (√ 2 −1 )3 π 5分
    A. 8 C. 24 D. 8

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 已知集合U = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 3}, B = {1, 3, 4}, 则A ∪ ( ∁UB ) = . 5分
2. 2. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系. 若曲线C 的极坐标方程为ρ = 2 sin θ, 则曲线C 的直角坐标方程 为 . 5分
3. 3. 若直线3x −4y + 5 = 0 与圆x2 + y2 = r2 (r > 0) 相交于A, B 两点, 且 ∠AOB = 120◦(O 为坐标原点), 则r = . 5分
4. 4. 若函数f (x) = |2x −2| −b 有两个零点, 则实数b 的取值范围是 . 5分
5. 5. 已知ω > 0, 在函数y = 2 sin ωx 与y = 2 cos ωx 的图象的交点中, 距离最 短的两个交点的距离为2 √ 3, 则ω = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某商场举行有奖促销活动, 顾客购买一定金额的商品后即可抽奖, 抽奖方 法是: 从装有2 个红球A1, A2 和1 个白球B 的甲箱与装有2 个红球a1, a2 和2 个白球b1, b2 的乙箱中, 各随机摸出1 个球, 若摸出的2 个球都是 红球则中奖, 否则不中奖. (1) 用球的标号列出所有可能的摸出结果; (2) 有人认为: 两个箱子中的红球比白球多, 所以中奖的概率大于不中奖的 概率, 你认为正确吗? 请说明理由.
2. 2. 设△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, a = b tan A. (1) 证明: sin B = cos A; (2) 若sin C −sin A cos B = 3 4, 且B 为钝角, 求A, B, C. 957
3. 3. 如图, 直三棱柱ABC −A1B1C1 的底面是边长为2 的正三角形, E, F 分 别是BC, CC1 的中点. (1) 证明: 平面AEF ⊥平面B1BCC1; (2) 若直线A1C 与平面A1ABB1 所成的角为45◦, 求三棱锥F −AEC 的 体积. A A1 B B1 C C1 E F
4. 4. 设数列{an} 的前n 项和为Sn. 已知a1 = 1, a2 = 2, 且an+2 = 3Sn −Sn+1 + 3, n ∈N∗. (1) 证明: an+2 = 3an; (2) 求Sn.
5. 5. 已知抛物线C1: x2 = 4y 的焦点F 也是椭圆C2: y2 a2 + x2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个焦点, C1 与C2 的公共弦长为2 √ 6. 过点F 的直线l 与C1 相交于 A, B 两点, 与C2 相交于C, D 两点, 且# » AC 与# » BD 同向. (1) 求C2 的方程; (2) 若|AC| = |BD|, 求直线l 的斜率.
6. 6. 已知a > 0, 函数f (x) = aex cos x (x ∈[0, +∞)). 记xn 为f (x) 的从小 到大的第n (n ∈N∗) 个极值点. (1) 证明: 数列{f (xn)} 是等比数列; (2) 若对一切n ∈N∗, xn ⩽|f (xn)| 恒成立, 求a 的取值范围. 958

原卷配图（含真实几何/应用题图示）